Matemáticos chegam perto de ligar o infinito ao mundo físico
Com uma nova prova surpreendente, dois jovens matemáticos descobriram uma ponte sobre o fosso que separa o finito do infinito, ajudando, ao mesmo tempo, a mapear essa estranha fronteira.
Ao contrário do que pode parecer, este limite não está entre um enorme número finito e o próximo, infinitamente grande. Em vez disso, ele separa dois tipos de afirmações matemáticas: os “finitos”, que podem ser provados sem invocar o conceito de infinito, e os “infinitos”, que repousam no pressuposto – não evidente na natureza – que existem objetos infinitos.
Mapear e compreender essa divisão é “o cerne da lógica matemática”, explica Theodore Slaman, professor de matemática na Universidade da Califórnia, nos EUA. Este esforço leva diretamente a questões de objetividade matemática, o significado do infinito e a relação entre a matemática e a realidade física.
Mais concretamente, a nova prova resolve uma questão que iludiu os maiores especialistas durante duas décadas: a classificação de uma declaração conhecida como “Teorema de Ramsey para os pares”, ou Teorema Infinito de Ramsey. Quase todos os teoremas podem ser considerados equivalentes a um punhado de grandes sistemas de lógica – conjuntos de partida de premissas que podem ou não incluir o infinito, e que abrangem a divisão finito-infinito – o teorema de Ramsey fica entre estas linhas. “Este é um caso extremamente excepcional”, afirma Ulrich Kohlenbach, professor de matemática na Universidade Técnica de Darmstadt, na Alemanha. “É por isso que é tão interessante”.
Construindo a ponte
Na nova prova, Keita Yokoyama, de 34 anos, matemático no Instituto Avançado de Ciência e Tecnologia do Japão, e Ludovic Patey, 27 anos, cientista da computação da Paris Diderot University, fixaram para baixo a força lógica do teorema de Ramsey – mas não a um nível que as pessoas esperavam. O teorema é ostensivamente uma declaração sobre objetos infinitos. E, no entanto, Yokoyama e Patey descobriram que ele é “finitamente redutível”: é equivalente em força para um sistema de lógica que não invoca o infinito.
Este resultado significa que o aparelho infinito do teorema de Ramsey pode ser manejado para provar novos fatos na matemática finita, formando uma ponte surpreendente entre o finito e o infinito. “O resultado de Patey e Yokoyama é realmente um grande avanço”, diz Andreas Weiermann, da Universidade de Ghent, na Bélgica, cuja obra própria no teorema de Ramsey desbloqueou um passo da nova prova.
O Teorema de Ramsey para os pares é a declaração envolvendo o infinito mais complicada que é conhecida por ser finitamente redutível. Ela convida você a imaginar ter em mãos um conjunto infinito de objetos, tais como o conjunto de todos os números naturais. Cada objeto no conjunto é combinado com todos os outros objetos. Você, então, colore cada par de objetos de vermelho ou azul de acordo com alguma regra. (A regra pode ser: para qualquer par de números A <B, colorir o par azul se B <2A, se não, colorir o par vermelho). Quando isso é feito, teorema de Ramsey afirma que existirá um subconjunto monocromático infinito: um conjunto constituído infinitamente por muitos números, de tal modo que todos os pares que eles fizerem com todos os outros números serão da mesma cor. (Yokoyama, trabalhando com Slaman, agora está generalizando a prova para que ela se mantenha para qualquer número de cores).
Os conjuntos infinitos divisíveis e coloridos no teorema de Ramsey são abstrações que não têm análogo no mundo real. E, no entanto, a prova de Yokoyama e Patey mostra que os matemáticos são livres para utilizar este aparato infinito para provar declarações em matemática finita – incluindo as regras de números e aritmética, que indiscutivelmente são subjacentes a toda a matemática exigida na ciência – sem medo de que os teoremas resultantes repousarão sobre a noção logicamente instável do infinito.
Isso porque todas as consequências finitas do teorema de Ramsey são “verdadeiras” com ou sem o infinito; elas são garantidamente demonstráveis de alguma outra forma puramente finita. As estruturas infinitas do teorema de Ramsey “podem tornar a prova mais fácil de encontrar”, explica Slaman, “mas no final você não precisa delas. Você poderia dar uma espécie de prova nativa – uma prova finita”.
Zona de penumbra
Quando Yokoyama colocou os olhos no teorema de Ramsey como pesquisador de pós-doutorado, quatro anos atrás, ele esperava que as coisas fossem diferentes. “Para ser honesto, eu pensei que ele realmente não era redutível finitamente”, disse ele.
Isto foi em parte porque o trabalho anterior provou que o teorema de Ramsey de triplos não é finitamente redutível: quando você colore trios de objetos em um conjunto infinito vermelho ou azul (de acordo com alguma regra), o resultado é uma infinidade muito complexa para se reduzir ao raciocínio finito. Isto é, em comparação com o infinito em teorema de Ramsey para os pares, o infinito no teorema de Ramsey de triplos é, por assim dizer, mais irremediavelmente infinito.
Mesmo enquanto matemáticos, lógicos e filósofos continuam a analisar as implicações sutis dos resultados de Patey e Yokoyama, a descoberta é um triunfo para a “realização parcial do programa de Hilbert”, uma abordagem do infinito defendida pelo matemático Stephen Simpson, da Universidade de Vanderbilt, nos EUA. O programa substitui um plano anterior e inatingível de ação do grande matemático David Hilbert, que em 1921 liderou acadêmicos a tecer o infinito completamente na dobra da matemática finita. Hilbert via na redutibilidade finita a única solução para o ceticismo que havia na época em torno da nova matemática do infinito. Como Simpson descreveu este período, “houve perguntas sobre se a matemática estava entrando em uma zona de penumbra”.
O surgimento do infinito
A filosofia do infinito que Aristóteles estabeleu no quarto século aC reinou praticamente incontestada até 150 anos atrás. Aristóteles aceitava um “infinito potencial” – a premissa de que a linha de números (por exemplo) continuaria para sempre – como um conceito perfeitamente razoável na matemática. Mas ele rejeitou como sem sentido a noção de “infinito real”, no sentido de um conjunto completo que consiste em um número infinito de elementos.
A distinção de Aristóteles era adequada às necessidades dos matemáticos até o século 19. Antes disso, “a matemática era essencialmente computacional”, diz Jeremy Avigad, filósofo e matemático na Universidade Carnegie Mellon, nos EUA. Euclides, por exemplo, deduziu as regras para a construção de triângulos e bissetrizes – úteis para a construção de pontes – e, muito mais tarde, os astrônomos usaram as ferramentas de “análise” para calcular os movimentos dos planetas. O infinito real – impossível de calcular por sua própria natureza – era de pouca utilidade.
Mas o século 19 viu uma mudança do cálculo para o entendimento conceitual. Os matemáticos começaram a inventar (ou descobrir) abstrações – acima de tudo, conjuntos infinitos, primeiramente relatados na década de 1870 pelo matemático alemão Georg Cantor. “As pessoas estavam tentando procurar maneiras de ir mais longe”, conta Avigad. A teoria dos conjuntos de Cantor provou ser um poderoso novo sistema matemático. Mas tais métodos abstratos eram controversos. “As pessoas estavam dizendo, ‘se você está dando argumentos que não me diz como calcular, isso não é matemática’”.
E, problematicamente, o pressuposto de que existem conjuntos infinitos levou Cantor diretamente para algumas descobertas não intuitivas. Ele descobriu que conjuntos infinitos vêm em uma cascata infinita de tamanhos – uma torre de infinitos sem conexão com a realidade física. Além do mais, a teoria dos conjuntos produziu provas de teoremas que eram difíceis de engolir, como o paradoxo Banach-Tarski, de 1924, que diz que se você quebrar uma esfera em pedaços, cada um deles composto por uma dispersão infinitamente densa de pontos, você pode colocar as peças em conjunto de uma maneira diferente para criar duas esferas do mesmo tamanho que a esfera original. Hilbert e seus contemporâneos estavam preocupados: era a matemática infinita consistente? Seria verdade?
Crise existencial em números
Em meio a temores de que a teoria dos conjuntos continha uma contradição real – uma prova de 0 = 1, o que invalidaria toda a construção – a matemática enfrentou uma crise existencial. A questão, como Simpson enquadra, foi: “Até que ponto a matemática realmente está falando sobre alguma coisa real? Ela está falando de um mundo abstrato que está longe do mundo real à nossa volta? Ou será que a matemática, em última análise, tem suas raízes na realidade?”.
Mesmo que questionassem o valor e a consistência da lógica infinita, Hilbert e seus contemporâneos não queriam desistir de tais abstrações – ferramentas poderosas de raciocínio matemático que em 1928 permitiriam ao filósofo e matemático britânico Frank Ramsey cortar e colorir conjuntos infinitos à vontade. “Ninguém vai nos expulsar do paraíso que Cantor criou para nós”, disse Hilbert em uma palestra em 1925. Ele esperava ficar no paraíso de Cantor e obter a prova de que ele estava em solo lógico estável. Hilbert encarregou matemáticos a provar que a teoria dos conjuntos e toda a matemática infinita era finitamente redutível e, portanto, digna de confiança. “Devemos saber; vamos saber!”, disse ele em um discurso 1930 em Königsberg, hoje Kaliningrado, na Rússia – palavras posteriormente gravadas em seu túmulo.
No entanto, o matemático austríaco-americano Kurt Gödel mostrou em 1931 que, na verdade, nós não vamos. Em um resultado chocante, Gödel provou que nenhum sistema de axiomas lógicos (ou suposições iniciais) jamais poderá provar sua própria consistência; para provar que um sistema de lógica é consistente, você sempre precisa de outro axioma fora do sistema. Isso significa que não existe um conjunto final de axiomas – nenhuma teoria de tudo – na matemática. Ao olhar para um conjunto de axiomas que produzem todas as verdadeiras afirmações matemáticas e nunca se contradizem, você sempre precisa de um outro axioma. O teorema de Gödel significava que o programa de Hilbert estava condenado: os axiomas da matemática finita não podem sequer provar sua própria consistência, e muito menos a consistência da teoria dos conjuntos e a matemática do infinito.
Isso poderia ter sido menos preocupante se a incerteza em torno dos conjuntos infinitos pudesse ter sido contida. Mas logo ela começou a vazar para o reino do finito. Os matemáticos começaram a usar provas infinitas em declarações concretas sobre números naturais – teoremas que poderiam conseguir encontrar aplicações na física ou na ciência da computação. E este raciocínio de cima para baixo continuou. Em 1994, Andrew Wiles usou a lógica infinita para provar o Último Teorema de Fermat, o grande problema da teoria dos números sobre os quais Pierre de Fermat em 1637 afirmou enigmaticamente: “Eu descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disto, mas da qual a margem é muito estreita para conter”. Poderia a prova infinita de 150 páginas de Wiles ser confiável?
Com essas questões em mente, os lógicos como Simpson mantiveram a esperança de que o programa de Hilbert pudesse ser pelo menos parcialmente realizado. Embora nem toda a matemática infinita possa ser reduzida ao raciocínio finito, eles argumentam que as partes mais importantes podem ser definidas. Simpson, um adepto da filosofia de Aristóteles, que tem defendido esta causa desde 1970 (juntamente com Harvey Friedman, da Universidade Estadual de Ohio, que a propôs em primeiro lugar), estima que cerca de 85% dos teoremas matemáticos conhecidos podem ser reduzidos a sistemas finitos da lógica. “O significado disso”, diz ele, “é que a nossa matemática é, desta forma, conectada, via redutibilidade finita, com o mundo real”.
Um caso excepcional
Quase todos os milhares de teoremas estudados por Simpson e seus seguidores ao longo das últimas quatro décadas tornaram-se (um tanto misteriosamente) redutíveis a um dos cinco sistemas de lógica abrangendo ambos os lados da divisão finito-infinito. Por exemplo, o teorema de Ramsey de triplos (e todos os conjuntos ordenados com mais de três elementos) foi mostrado em 1972 como pertencente ao terceiro nível acima na hierarquia, que é infinito.
A descoberta veio em 1995, quando o lógico britânico David Seetapun, trabalhando com Slaman em Berkeley, provou que o teorema de Ramsey de pares é logicamente mais fraco do que o teorema de Ramsey de triplos e, portanto, abaixo do terceiro nível da hierarquia. O ponto de ruptura entre teorema de Ramsey para os pares e o teorema de Ramsey de triplos acontece porque um procedimento de coloração mais complicado é necessário para a construção de conjuntos monocromáticos infinitos de triplos do que conjuntos monocromáticos infinitos de pares.
“Desde então, muitos trabalhos seminais sobre o teorema de Ramsey foram publicados”, aponta Weiermann – o mais importante, um resultado de 2012 encontrado por Jiayi Liu (emparelhado com um resultado descoberto por Carl Jockusch de 1960) mostrou que o teorema de Ramsey não pode provar – nem ser provado por – o sistema lógico localizado no segundo nível na hierarquia, um degrau abaixo do teorema de Ramsey de triplos. O sistema de nível dois é conhecido por ser finitamente redutível à “aritmética recursiva primitiva”, um conjunto de axiomas amplamente considerado o mais forte sistema finito da lógica. A questão era se teorema de Ramsey também seria redutível à aritmética recursiva primitiva, apesar de não pertencer ao segundo nível na hierarquia, ou se eram necessários axiomas infinitos mais fortes. “A classificação final do teorema de Ramsey parecia fora de alcance”, diz Weiermann.
Mas, em seguida, em janeiro, Patey e Yokoyama, dois jovens que estavam sacudindo o campo com sua experiência combinada na teoria da computabilidade e na teoria da prova, respectivamente, anunciaram seu novo resultado em uma conferência em Cingapura. Usando uma série de técnicas, eles mostraram que teorema de Ramsey é de fato igual na força lógica que a aritmética recursiva primitiva, e, por consequência, finitamente redutível.
“Todo mundo estava perguntando a eles, ‘O que vocês fizeram, o que vocês fizeram?'”, conta Henry Towsner, matemático da Universidade da Pensilvânia, nos EUA, que também trabalhou na classificação do teorema de Ramsey. “Mas, como todo mundo, eu não fui muito longe”.
“Yokoyama é um cara muito humilde. Ele disse, ‘Bem, nós não fizemos nada de novo; tudo o que fizemos foi utilizar o método de indicadores, e usamos esta outra técnica’, e ele passou a listar essencialmente todas as técnicas que alguém já desenvolveu para trabalhar sobre este tipo de problema”, relembra.
Em uma etapa chave, a dupla modelou o conjunto monocromático infinito de pares no teorema de Ramsey usando um conjunto finito cujos elementos são modelos “fora do padrão” dos números naturais. Isto permitiu a Patey e Yokoyama traduzir a questão da resistência do teorema de Ramsey para o tamanho do conjunto finito no seu modelo. “Nós calculamos diretamente o tamanho do conjunto finito”, explica Yokoyama, “se fosse grande o suficiente, então poderíamos dizer que não era finitamente redutível, e se fosse pequeno o suficiente, poderíamos dizer que é finitamente redutível”. Era pequeno o suficiente.
O teorema de Ramsey tem numerosas consequências finitas, afirmações sobre os números naturais que são agora conhecidas por serem exprimíveis em aritmética recursiva primitiva, e que são, portanto, logicamente consistentes. Além disso, estas afirmações – que muitas vezes podem ser expressas na forma “para cada número X, existe um outro número Y tal que…” – têm agora a garantia de ter algoritmos recursivos primitivos associados com eles por computar Y. “Esta é uma leitura mais aplicada do novo resultado”, aponta Kohlenbach. Em particular, ele disse, o teorema de Ramsey poderia produzir novos limites em algoritmos para “reescrever termos”, colocando um limite máximo para o número de vezes que as produções de cálculos podem ser ainda mais simplificadas.
Alguns matemáticos esperam que outras provas infinitas possam ser reformuladas na linguagem do teorema de Ramsey e mostrarem ser logicamente consistentes. Um exemplo muito forçado é a prova de Wiles do Último Teorema de Fermat, visto como um santo graal por pesquisadores como Simpson. “Se alguém descobrir uma prova do teorema de Fermat que seja finita exceto por envolver algumas aplicações inteligentes de teorema de Ramsey”, ele disse, “então o resultado de Patey e Yokoyama nos diria como encontrar uma prova puramente finita do mesmo teorema”.
Simpson considera os coloridos e divisíveis conjuntos infinitos no teorema de Ramsey “ficções convenientes” que podem revelar novas verdades sobre a matemática concreta. Mas, pode-se perguntar, pode uma ficção ser tão conveniente que pode ser pensada como um fato? Será que a redutibilidade finita empresta qualquer “realidade” para objetos infinitos – para o infinito real? Não há consenso entre os especialistas. Avigad tem dois pensamentos conflitantes. Em última análise, diz ele, não há necessidade de decidir. “Há uma tensão constante entre a idealização e as realizações concretas, e nós queremos as duas coisas”, diz ele. “Estou feliz de ter a matemática como ela é e dizer: olha, conjuntos infinitos existem na medida em que sabemos como raciocinar sobre eles. E desempenham um papel importante na nossa matemática. Mas, ao mesmo tempo, eu acho que é útil pensar, bem, exatamente como eles desempenham um papel? E qual é a conexão?”.
Com descobertas como a redutibilidade finita de teorema de Ramsey – ainda a mais longa ponte entre o finito e o infinito – matemáticos e filósofos estão gradualmente se movendo em direção às respostas para estas perguntas. Mas a viagem já dura milhares de anos, e parece improvável que termine tão cedo. Com resultados como o teorema de Ramsey, Slaman diz, “a imagem ficou bastante complicada”. [Quanta Magazine]
2 comentários
O tempo e infinito, existem infinitos presentes, futuros, passados e padrões mais complexos, so uma hipotese kkkkkkk
Texto meio exagerado e com linguagem demasiado avançada não? rsrs