Números primos: matemáticos fazem importante descoberta

Qual o intervalo máximo que dois números primos consecutivos conseguem ter um do outro?

Matemáticos têm tentado desvendar esse mistério há 76 anos. O espaçamento médio entre primos se aproxima do infinito conforme você viaja na linha dos números – como provou o matemático Zhang Yitang, da Universidade de New Hampshire (EUA), em maio de 2013 -, mas ninguém tinha sido capaz de estabelecer o quão grande essas lacunas poderiam ser.

Os números primos são números divisíveis apenas por um e por eles próprios. Eles se tornam cada vez mais raros à medida que se avança na linha numérica, mas nunca deixaremos de encontrar dois primos consecutivos a uma distância de 70 milhões de números um do outro – foi o que descobriu Yitang.

Com a descoberta de Zhang, ficou mais fácil criar (na verdade, afinar) uma fórmula que pudesse identificar o intervalo máximo que dois números primos consecutivos tem um do outro.

Assim, em agosto passado, dois diferentes grupos de matemáticos estudaram documentos sobre a “conjectura dos primos gêmeos” de Paul Erdős, que dita quão grande essas lacunas podem ser.

Entre os pesquisadores, estão Terence Tao, da Universidade da Califórnia (EUA), Kevin Ford, da Universidade de Illinois (EUA), Ben Green, da Universidade de Oxford (Reino Unido) e Sergei Konyagin, do Instituto de Matemática de Moscovo (Rússia).

A conjectura de Erdős é baseada em um limite elaborado em 1938 pelo matemático escocês Robert Alexander Rankin. Para números grandes o suficiente (X), Rankin mostrou que o maior espaço é, pelo menos:

Alguns estudiosos achavam essa fórmula ridícula, e todos pensavam que ela seria melhorada rapidamente, mas a equação resistiu por mais de sete décadas.

Muitos matemáticos acreditam que a verdadeira dimensão das grandes lacunas é provavelmente consideravelmente maior – mais da ordem de (log X)², uma ideia proposta pela primeira vez pelo matemático sueco Harald Cramér em 1936. Lacunas assim seriam esperadas se números primos se comportassem como números aleatórios, o que eles parecem ser.

Erdős, por outro lado, afirmava que as lacunas poderiam ficar muito maiores do que na fórmula de Rankin, embora ainda menores do que Cramér propôs.

Os cinco pesquisadores se uniram para tentar provar a ideia de Erdős. Em maio, com colaboração de James Maynard, já tinham chegado a um limite superior de 246 para responder a grande questão. Agora, eles vão refinar seus resultados e devem publicar um artigo com suas conclusões no final deste mês.

Aplicações

O novo trabalho não tem aplicações imediatas, mas poderia influenciar bastante algoritmos de criptografia.

Se por acaso as lacunas de números primos forem muito grandes, em princípio, isso significaria problemas para os algoritmos de criptografia que dependem de encontrar números primos grandes. Se um algoritmo começasse a procurar por primos no início de uma enorme lacuna, levaria muito tempo para ser executado, por exemplo. [Wired]

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