Este estranho paradoxo vai bugar seu cérebro
Imagine que você pegue uma laranja e, usando uma faca especial, corte seis fatias. Depois, você pega três delas e as junta, girando e movendo-as até se encaixarem. Em seguida, faz o mesmo com as três outras fatias, e acaba com duas laranjas, iguais à laranja original em tudo. Repita o processo e obtenha infinitas laranjas. Faça isto com uma laranja de ouro e fique infinitamente rico.
Parece absurdo? É por isto que é chamado de paradoxo
Este é o paradoxo de Banach-Tarski, proposto em 1924 por Stefan Banach e Alfred Tarski, que prova a seguinte declaração genérica: “Dados quaisquer dois subconjuntos limitados A e B de um espaço euclidiano com ao menos três dimensões, ambos com um interior não vazio, existem partições de A e B em um número finito de subconjuntos disjuntos, A = A1 ∪ … ∪ Ak, B = B1 ∪ … ∪ Bk, tal que para cada i entre 1 e k, os conjuntos Ai e Bi são congruentes”.
Traduzindo isto para uma linguagem coloquial, se A for uma bola original e B um conjunto de duas cópias da bola original, a proposição significa que você pode dividir a bola original A em um certo número de peças e então girar e mover estas peças de uma forma que o resultado é o conjunto B, que contém duas cópias de A.
A dupla de matemáticos provou que dava para realizar o milagre da duplicação das esferas com seis “fatias”, mas o matemático R. Robinson, em 1947, provou que 5 era o número mínimo de “fatias” para a proeza, e que menos não seriam suficientes.
Obviamente, o paradoxo só funciona na matemática, já que trabalha com conjuntos infinitos, e na natureza as esferas (e as laranjas) são objetos finitos, com um número finito de partículas subatômicas que obedecem a algumas leis, como a conservação da matéria.
A esfera do paradoxo é um ente matemático que não tem massa e não está preso à lei da conservação da matéria. As fatias também são matemáticas, e não tem volume, ou melhor, seu volume não pode ser calculado. Por tudo que sabemos, cada “fatia” poderia ser um grupo (infinito) de pontos espalhados por toda a esfera, sem o aspecto de uma “fatia”.
Mas por que a dupla propôs este paradoxo? Eles estavam implicando com o “axioma da escolha”. Este axioma é utilizado na matemática como uma ferramenta para facilitar algumas provas matemáticas, mas muitos matemáticos acham que o mundo seria melhor sem ele.
Basicamente, o axioma diz que se você tiver um conjunto A em que os elementos são outros conjuntos a1, a2, a3, …, existe uma maneira de você criar um novo conjunto B, o “conjunto escolha”, escolhendo (o axioma não explica como) um elemento de cada um dos conjuntos a1, a2, a3, … não vazios.
A implicação do paradoxo é que o axioma deve ser rejeitado, justamente por que sua aplicação pode levar a estes paradoxos. O assunto vai mais longe. Quem quiser se aprofundar pode começar com os links dados a seguir, mas já fica o aviso: é matemática pura. [Wikipedia, pt.Wikipedia, Good Math, Bad Math, io9, Kuro5hin, U. Massachussets]
12 comentários
Independente do paradoxo e do “bug” no cérebro, a teoria ficaria mais interessante associada a Biologia molecular, mais especificamente ao processo de divisão celular, que ocorre em progressão geométrica na origem da vida. Quando uma célula se divide, dando origem a células idênticas…
Se o Pinóquio falasse¨meu naris crescerá agora¨!O que aconteceria?
Ia bugar tudo, provavelmente ia dar erro 404! KKK
É só uma questão de escala sobre partes fractais não é mesmo??? Isso tem alguma aplicação pratica? Aparentemente isso deveria ser classificado como “característica interessante” de fractais ao invés de “paradoxo” não concordam?
Há muitos anos atrás eu quero saber o porque de um círculo caber exatamente 6 círculos iguais a sua volta e uma esfera caber exatamente 12 esferas iguais à sua volta. Se círculo ou esfera não tem lados, os números 6 e 12 exatos estão implicados com algo haver com os mistérios dimensionais matemáticos. Muitos anos depois soube que Platão considerava a forma do universo um dodecaedro (12 facetas)… Deixo esta questão para os matemáticos se deliciarem.
Eu não entendi ou isso não tem o menor sentido.
Se partirmos a laranja em seis e fizermos duas laranjas teremos duas laranjas com a metade do tamanho se partirmos novamente teremos 4 cada uma com 1/4 do tamanho simples e enfadonho.
Alguém me explica qual o paradoxo.
O paradoxo está que o matemático mostrou que dividir uma esfera matemática usando o axioma da escolha vai dar origem a duas esferas idênticas à original. Do mesmo tamanho. E é aí que está o paradoxo, como podem ser do mesmo tamanho da esfera original?
É como dividir uma laranja em fatias e rearranjar as fatias e conseguir duas laranjas iguais à laranja original.
Sempre fui péssimo em matemática, mas o que eu entendi na imagem é que quando a original se divide, as duas metade das metades(1/4) triplica de tamanho, assim preenchendo aqueles 1/4 que sobrava de cada metade da original formando 2 figuras inteiras pelo menos eu nao senti nenhum “bug” rsrs
Percebi o mesmo! rs
Deu um curto-circuito em meu cérebro, porra!!!
ele completo é 3×3 ele divido fica 3×1 cada lado! Não achei nada de genial nisso… A impressão se dá pelo fato da ampliação mas é facilmente compreendida ao frisarmos nos lados de cada figura!
3 grupos de 9 e 3 grupos de 3!