4 problemas infinitos

Por , em 17.07.2013

O infinito não é um número, não é uma medida: é uma ideia, que representa o que não tem limites ou fim. O conjunto dos números naturais, por exemplo, é infinito, por que não importa qual o número que você tem, sempre poderá adicionar 1 e obter o número subsequente.

Mesmo sendo a representação de uma ideia, e não um número, o infinito tem algumas propriedades numéricas que permitem que a gente trabalhe com ele.

Por exemplo, se representarmos esta ideia com o símbolo ∞, podemos escrever ∞ + 1 = ∞, que pode ser interpretado com “se algo não tem fim, você pode somar 1 e ela ainda será sem fim”.

A coisa mais importante sobre o infinito é que – ∞ < x < ∞, onde x é um número real, que é uma abreviação para a frase "menos infinito é menor que qualquer número real, e infinito é maior que qualquer número real". Algumas operações com o ∞ são indefinidas, como, por exemplo, ∞ + ∞ = ∞, ou - ∞ + - ∞ = ∞. Além disso, existem também os conjuntos com infinitos elementos, e a ideia de tamanhos diferentes de infinitos. Mas o mais bizarro são os paradoxos que temos com os números infinitos. Um paradoxo é uma noção verdadeira que desafia nossa intuição, ou até mesmo a lógica. Vejamos alguns paradoxos envolvendo o infinito:

1. Hotel de Hilbert

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Imagine um hotel com infinitos quartos, e que todos eles estão ocupados. Chega um viajante no hotel, e pede para se hospedar. Só que não tem vagas; apesar de ter infinitos quartos, o hotel já está totalmente ocupado.

Mas o gerente é um sujeito que não manda ninguém embora, e faz o seguinte: pede para o hóspede do quarto 1 se mudar para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 se mudar para o quarto 3, o hóspede do quarto 3 se mudar para o quarto 4, e assim por diante.

E pronto, o hotel que estava cheio, agora tem uma vaga para o novo hóspede. Usando esta estratégia, o gerente do hotel pode acomodar um novo hóspede, 10 novos hóspedes, um milhão de novos hóspedes, ou até um número infinito de novos hóspedes.

Este paradoxo foi proposto pelo matemático alemão David Hilbert, e é um paradoxo porque a nossa definição de hotel cheio é que não há vagas para novos hóspedes. Mas se o hotel tiver infinitos quartos, mesmo que todos eles estejam cheios, ainda assim dá para acomodar um conjunto de novos hóspedes, até mesmo infinitos novos hóspedes.

2. Trombeta de Gabriel

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A Trombeta de Gabriel, ou a Trombeta do Anjo Gabriel, ou ainda a Trombeta de Torricelli é uma superfície na forma de um funil (ou de trombeta). Ela começa larga e vai afinando rapidamente, mas nunca fica fechada – ou seja, segue até o infinito.

A superfície da trombeta é infinita, mas o volume que ela envolve não é infinito (uma ideia matemática). Suponha que você tenha que pintar de dourado o lado de dentro desta trombeta. A superfície dela é infinita, então você precisa de uma quantidade infinita de tinta, certo? Bem, você pode pegar uma quantia finita de tinta, correspondendo ao volume da trombeta, e jogar esta tinta na trombeta, deixando ela escorrer.

Você pode escolher aí o que vai te deixar mais desconfortável: se é uma superfície infinita envolver um volume finito, ou se é uma quantia finita de tinta cobrir uma superfície infinita.

O discípulo de Galileu Evangelista Torricelli foi o primeiro a pensar neste problema, que ele achou tão extraordinário que a princípio imaginou que tivesse feito alguma coisa errada.

Outros filósofos e matemáticos ficaram tão horrorizados com os paradoxos que surgiam com o infinito, que chegaram a propor o banimento da ideia.

3. O enigma do jogo de dardos

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Suponha que você tem um alvo, um dardo, e 100% de certeza que irá acertar o alvo em alguma parte. Agora pense na ponta do dardo, o ponto matemático exato da sua extremidade, e pense em um ponto matemático no alvo. A pergunta é, qual a probabilidade que aquele ponto tem de ser atingido pelo dardo?

Podemos começar supondo que há uma chance maior que zero daquele ponto ser atingido pelo dardo. Só que aí começam os problemas. Se há uma chance maior que zero de um ponto ser atingido, então há uma chance maior que zero para todos os outros pontos, de que eles serão atingidos pelo dardo. Mas existem infinitos pontos no nosso alvo.

Se você somar as probabilidades de todos os pontos, vai chegar à conclusão de que o alvo todo tem uma probabilidade infinita de que ser atingido, o que não faz sentido, já que esta probabilidade não pode ser maior que 100%.

E o que acontece se imaginarmos que a probabilidade de um ponto ser atingido é zero? Se a probabilidade de acertar aquele ponto particular é zero, então ela é zero para todos os outros pontos, e se somarmos as probabilidades de todos os pontos para ter a probabilidade de acertar o alvo, ela é zero. Mas temos certeza de que o alvo será atingido, como pode ser zero, então?

4. Duplicando seu dinheiro

StPetersburg paradox
Imagine que um cassino esteja oferecendo um novo jogo. O jogo começa com um real no banco de apostas. A pessoa joga uma moeda. Se sair cara, o que tem no banco de apostas é dobrado, se sair coroa, o jogo termina e o jogador ganha o que tiver no banco de apostas.

Quanto você pagaria para entrar neste jogo? Ou quanto seria justo para o cassino cobrar? Se você souber um pouco de matemática já deve ter ouvido falar em “esperança matemática”, ou seja, em um jogo envolvendo probabilidade do ganho esperado. E qual o ganho esperado neste jogo?

A maioria provavelmente apostaria R$ 5,00, talvez um pouco mais, mas o que a matemática diz é: “aposte o que você tiver, a esperança de ganho é infinito”. O jogador tem probabilidade de 50% de ganhar R$ 1, 25% de probabilidade de ganhar R$ 2, 12,5% de ganhar R$ 4, e assim por diante. O valor esperado é a soma da probabilidade multiplicada pelo valor do prêmio, assim:

E = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …

Esta é uma soma de infinitas frações 1/2, e o resultado é infinito. Ou seja, matematicamente falando, a esperança matemática de ganho é infinita. Mas, paradoxalmente, muita pouca gente está disposta a pagar alguma coisa a mais que R$ 20,00 para jogar este jogo.

Obviamente, estamos falando de um cassino hipotético, capaz de colocar quanto dinheiro for necessário no banco de apostas. Na prática, haverá um limite para o prêmio máximo, e também para o número máximo de jogadas (ninguém vai ficar lançando uma moeda infinitas vezes). Talvez o paradoxo surja daí: ninguém espera ou consegue entender um cassino capaz de cobrir um prêmio infinito ou uma série infinita de caras em uma série infinita de lances de moeda. [Math is Fun, Ask Dr. Math, Good Math, Bad Math, Numberphile]

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37 comentários

  • Ana Maria Conte:

    Mas eu posso fazer cálculos com infinito da mesma forma que faço com uma variável x até no fim das contas eu dar um jeito de corta-lo.

  • Antonio Mello:

    Não entendi uma coisa do problema 2: se a superfície é infinita, por que o volume também não o é?

    • Igor.R:

      Existe um “teto” para o valor do volume, conseguimos calcular por integrais, porém é uma valor V<=Vreal.

      Creio que a área também seja FINITA, se não estou enganado. Talvez erro ou equivoco na descrição do fenômeno.

  • Roger Jesus:

    O MAIS IDIOTA DISSO TUDO é que o BURRO que criou o problema TIRA as refências… Na prática é outra!
    [Inventa o Mundo da Alice!]

  • Rodrigo Maraschin Fermiani:

    Excelente artigo Cesar Grossmann.
    Pequena correção.
    – ∞ + – ∞ = ∞
    O correto é:
    – ∞ + – ∞ = – ∞

    • Danilo Freitas:

      Aproveitando a correção do Cesar, aqui vai uma correção minha:

      no enigma do dardo diz-se que “a chance de acertar um alvo é maior que zero… se somar todas as chances, a chance é infinito… que é maior que 100% e n pode ser maior blá blá…”

      De fato, a chance é maior que 0 e é exatamente 100/∞[x ( por ∞’s pontos)= 100%] logo, nessa parte não há nenhum erro de lógica.

  • Lucas Fialho De Aráujo Barbosa:

    O primeiro problema a primeira vista pareceu ridiculo, mas depois interessante:

    se existem o quarto de número k, sempre existira o de k+1, reina aqui o grupo dos números naturais.
    Se existem infinitos quartos ocupados (ou seja existem infinitos ocupantes) basta fazer com que se movam pro quarto vizinho porque nunca a mudança nunca chegará ao fim (uma vez que existem infinitos quartos eheh)
    no entanto se não existe supremo (um número maximo), existe infimo (um nuúmero minimo que é o quarto 0) e ninguém se mudará pra ele, logo este está vago ehehehe gostei.

    Trombeta gabriel não há oque se discutir, talvez não tenha um significado fisico ainda mas é matematicamente provada (a prova está na wikipedia)

    os dardos eu achei que as premissa chegam a conclusões ilógicas. Primeiro que não é necessário que uma vez que um ponto possa ser atingido, todos os outros possam. Segundo que, mesmo que todos os pontos possam ser atingidos basta que a probabilidade seja inversamente proporcional a quantidade de pontos (no caso, para um número infinitamente grande de pontos existirá uma probabilidade infinitamente pequena de um ponto ser atingido)
    eu não sou pro em fisico/química mas imagino que você possa usar a densidade de probabilidade de um eletron estar ou em determinado local pra fazer uma comparação real com esse problema e ver que não existe nada de paradoxal. Note que dessa maneira o limite artificial de falar que “existe 100% de chance de ele estar dentro deste volume” some, e que não é necessário que todos os pontos possuam igual probabilidade de serem atingidos pelo dardo 0.o

    o quarto problema não tem mistério a probabilidade de vc ganhar k vezes pode ser menor do que ganhar 30 vezes seguidas na megasena, por exemplo.

  • Davi Nonnenmacher:

    1º – Logo no início, na frase “Imagine um hotel com infinitos quartos, e que todos eles estão ocupados.”, percebe-se que há um erro, pois, se há infinitos quartos no hotel citado, como todos os mesmos podem estar ocupados?

    2º – Ao meu ver, a “tinta” é usada para representar a parte interna da trombeta. Vejamos, uma trombeta precisa ter um fim, pois vai afinando, mas, como esta aí não tem fim, vamos lá: Se uma trombeta é infinita (ou seja, se extende até o infinito) sua área interna também vai ser infinita também, e a tinta que precisaremos também será infinita. Mas, caso eu estiver errado, e não entendi corretamente, suponhamos que a quantidade de tinta necessitada não seja infinita, e a corneta fosse um cone. Neste caso, T (Tinta necessitada) é igual à Infinito.V, onde V corresponde à quantidade de tinta que necessita para preencher um “círculo”, digamos assim, do cone.

    3º – Na probabilidade da porcentagem não existe infinito%, o máximo é 100%, ou seja, 100% = certeza, portanto, algo está errado aí, pois caso eu tenha 150% de chance de acertar algo, significa que tenho certeza e mais meia certeza? Ao meu ver, isto está incorreto.

    4º – Meio surreal esta brincadeira, não? O dono do tal cassino não lucra nada com este jogo. (Risos)

    • Paulo Vinicius:

      No primeiro problema a suposição de todos os quartos estarem cheios foi para que se chegasse em um absurdo, ou seja, supondo que tenho infinitos quartos não importa quantos hospedes você alocar, sempre sobrará pelo menos um quarto, mesmo que a quantidade de hospedes seja infinita.
      No caso da trombeta é que o diâmetro do bico vai chegando próximo a 0, mas ela nunca é 0, sendo assim ela se torna um valor tão pequeno que pode ser desprezado. Converse com um professor de calculo que ele lhe explicará melhor.
      No caso do jogo de dardos é que tem que se levar em conta que a soma das probabilidades é igual a 1, aí entra aquela ideia de que o Lim x->∞ 1/x = 0, pois x está indo para o infinito mas nunca chega chega a realmente ser infinito e já que x é tão grande que 1/x fica muito próximo de 0 aí o valor fica desprezível, mas se fizer o somatório desses valores de 0 até ∞ resulta em um 1, ou um número muito próximo.
      No ultimo caso é só uma hipótese que não necessariamente precisa ter sentido.

  • Edson Aurélio Hudson:

    Trombeta de Gabriel, não entendo como um cone poderia se estender até o infinito porque ele teria que zerar em algum ponto, um tubo por exemplo poderia ser imaginado se estendendo ao infinito mas um cone perderia em dimensão até um ponto zero. outra coisa é que se o cone se estenderia até o infinito seu volume também teria de ser infinito. Pra que isso intrigasse muitos matemáticos deve com certeza dar em uma equação de quebrar a cabeça, pra mim é difícil de compreender… bom é pensar no problema.

    • Fernandes Raphael:

      Só depois que cursei cálculo integral e diferencial e integral que tive a noção que a realidade está contida na matemática e não o contrário. Realmente é impossível existir um cone que se estenda até o infinito na vida real, mas matematicamente é outra história. Pensemos nessa ideia: Como podemos representar um seguimento de reta? Um pedaço de linha esticada ou um simples traço de lápis numa folha já resolveria essa pergunta. Contudo, por mais unidimensional que a linha ou o traço de lápis pareçam, eles possuem as três dimensões. Já que a linha é um cilindro bem fino e o traço de lápis é uma camada de raspas de grafite. Ambos com comprimento, altura e largura. Na matemática, uma reta é unidimensional, que só existe em teoria. Enfim, no caso do cone o material que o forma é bidimensional, o que permite o paradoxo. Se no problema fosse dito que esse material tivesse qualquer espessura, o cone teria volume e área finitos.
      Espero ter ajudado, Abraços!

    • claudiohagra:

      Brilhante o raciocínio Raphael, entretanto, pelo que li, a bidimensionalidade da trombeta não é um dado exposto ao problema porque em um mundo tridimensional em que vivemos é inconcebível a existência de um objeto, quaisquer sejam eles, bidimensional!
      Bem, observando o problema, o seu criador “garfou”, digamos assim, por que fisicamente é impossível existir um objeto com cumprimento infinito e um volume finito, senão, veja-se:

      V = L1 x L2 x L3 onde L1,L,L3, são os três lados que devem compor o objeto, que seriam: Largura, Altura e Cumprimento!
      Esta mesma trombeta tem um cumprimento infinito e o seu volume é finito até um certo ponto. Em outras palavras existirá um certo ponto “P” que a trombeta perde sua tridimensionalidade e a partir deste ponto passa a ser um objeto bidimensional.
      Sendo assim, como seria um objeto tridimensional (a tinta) ultrapassar o ponto da tridimensionalidade para entrar no resto do cumprimento da trombeta que é bidimensional?
      IMPOSSÍVEL DENTRO DA FÍSICA UNIVERSAL A EXISTÊNCIA DE TAL OBJETO, COMO ESTA TROMBETA.
      Como é impossível a existência de tal objeto o paradoxo não tem sentido algum.
      Deve ter sido formulado por algum lunático desocupado que não entendia bem de matemática e física!

    • Paulo Vinicius:

      claudiohagra, olha o cara que você falou que não entende nada de matemática e física:
      http://www.torricelli.g12.br/institucional-biografia.asp , sério mesmo que você escreveu isso sobre Evangelista Torricelli? Agora aproveite e dê uma lida sobre a trombeta de Gabriel aqui:
      http://gigamatematica.blogspot.com.br/2011/07/trombeta-de-gabriel.html, antes de sair indagando que algo não faz sentido ou está errado, acho bom dar uma leve pesquisada na internet para não cometer qualquer tipo de injustiça.

  • Islan Victor:

    Quanto a trombeta se ela é infinita não deveria possuir massa infinita, volume infinito e consequentemente densidade infinita?

    • Diego Vitor:

      Se você assume que densidade d é igual a massa m sobre volume v (d = m/v), e assume ainda que a massa é infinita e o volume é infinito, como pode afirmar que a densidade é infinita se estamos diante de uma indeterminação matemática do tipo infinito dividido por infinito? Densidade pode ser 0, pode ser 1, pode ser infinita… Nunca se poderá provar nenhuma das coisas, pois, como eu já disse, é indeterminação matemática.
      Todos estes paradoxos tem fundamento matemático. Podem não ter fundamento físico (que é o que muita gente aqui quer fazer com que tenha), mas matemático eles têm sim! E com cálculo diferencial e integral fica muito simples de se entender tudinho! Do ponto de vista matemático, claro.

  • Sérgio Carisio:

    Artigo muito interessante. Só uma pequena correção: “muito pouca gente” e não “muita pouca gente…”

  • Alessandro Silveira:

    Infinito é um conceito abstrato.
    O que se tem, via de regra, como infinito, em filosofia e filosofia da matemática é chamado de Infinito Potencial, os outros dois conceitos (Infinito absoluto e Infinito atual) são mais abstratos ainda. De certa forma o infinito potencial na matemática é uma liberdade teórica que não deve ser muito dissecada, pois é apenas uma maneira de não limitar a ferramenta para a resolução de uma problema qualquer.
    O conceito de infinito é muito singular e na prática não existe.
    Um exemplo:
    A universidade de Santa Clara calculou 8.000.000.000.000.000 de casas decimais do Número PI, mesmo assim este cálculo está tão longe do infinito quanto o cálculo de 200 casas por Gauss. E se amanhã uma maquina calcular 8 bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de bilhões de casas decimais do Número PI, igualmente estará tão longe do infinito quanto qualquer outro método.

    • Edson Aurélio Hudson:

      Alessandro Silveira, muto esclarecedor, e acho muito correto vc dizer que esses problemas não podem ser ¨dissecados¨se estão é com certeza uma tentativa de estreitar o caminho entre gente comum e a matemática teórica, mas se cabe nos números ( as hipóteses matemáticas) e não cabem na razão mesmo que filosófica ficamos com duas coisas que parecem não se misturar como água e óleo, isso não deve fazer diferença para grandes matemáticos porque sei que esses sim são assombrosos. O que querem os doentes é a cura, esses problemas serem expostos assim de forma tão simples me fazem sentir um neandertal. aqui vai por exemplo meu pensamento neandertal;
      Hotel de Hilbert
      Trocamos os quartos por copos pra melhor entender.
      infinitos copos estão infinitamente cheios e quero acrescentar mais água em um copo, quando eu encho esse copo que na verdade ja esta cheio a água então pula para o copo seguinte que cai no copo seguinte tal como uma cascata de taças em uma festa, o que imagino é que o volume excedente de água estará transitando sempre fora do copo tal qual o ocupante do hotel isso como você sabiamente disse é hipotético na matemática e aqui entramos com a locomotiva matemática que se move tão rápido que deixa para trás até a imaginação.

  • Elton Lopes:

    “A superfície da trombeta é infinita, mas o volume que ela envolve não é infinito”.
    Aqui está o erro: o volume que ela envolve é infinito, também.
    Bom dia.

    • Lucas Fialho De Aráujo Barbosa:

      Não, o volume é finito também. A trombeta gabriel não é uma mera abstração, ela foi matematicamente provada (com calculo é relativamente simples e a prova vc acha na wikipedia)

    • Fernandes Raphael:

      O volume que ela envolve não é infinito. Pode-se provar isso: a trombeta em questão é um sólido de revolução, um giro de 360º de um seguimento de hipérbole em torno do eixo x. É fácil calcular seu volume utilizando o conceito de integral imprópria. E acredite, ele é finito! (Bons livros pra se estudar cálculo diferencial e integral: Louis Leithold, James Stewart e Guidorizze) Esse assunto é geralmente abordado no volume 1.
      Abraços!

  • Gargwlas:

    o da casa nao faz sentido algum… se é infinito NUNCA todos os quartos vao estar cheios NUNCA

    da trombeta tambem… nao tem como o buraco diminuir ao infinito

    por mais comprida que seja, no final vai precisar de pelo menos 3 atomos para formar um tubo de entrada de ar

    entao nao é infinita

    • eduardo_954:

      Matemática não precisa estar em conformidade com as regras da realidade, essa trombeta é hipotética.
      Pense nas infinitas casas de pi ou de qualquer outro numero irracional…

  • Edson Aurélio Hudson:

    Hotel de Hilbert?!! não entendi… o hóspede saiu do primeiro quarto, e o novo hóspede que chegou entrou, todos os infinitos quartos estão ocupados, o que saiu então entra no segundo quarto e o ocupante do segundo quarto sai para o outro entrar,…todos os infinitos quartos estão ocupados, mas um hóspede estará sempre de fora.- entram um milhão de pessoas em um milhão de quartos, um milhão tem que sair.

  • Je:

    Muito boa a matemática e seus números infinitos.
    O problema Hotel de Hilbert me lembra o paradoxo de Zeno de quando você percorre uma distância pela metade dessa distância tem sempre uma outra metade dessa mesma distância a ser percorrida.
    Enfim você nunca chega ao ponto final dessa distância.

  • Thiago Corrêa:

    Eu não vi nada de paradoxo nesses problemas, achei problemas bem bestas…

    No problema 1, se existe quartos sobrando então é porque o Hotel não está completamente ocupado.

    No problema 2, sabemos que a tinta colocada no funil é finita, e esta tinta possui moléculas com átomos e a capacidadade de pintura desta tinta está limitada ao tamanho de suas moléculas que dão essencia a sua cor, uma hora as moléculas vão acabar não podendo pintar além disso. O próprio funil também é feito de átomos não podendo ir diminuindo até o infinito. Resumindo todos os materiais vísiveis para nós estão limitados ao tamanho das suas menores particulas, limitados as menores partículas percepitíveis para nós, é claro que devem existir particulas menores e menores infinitamente no qual nós não conhecemos e outras não conheceremos nunca, mas essas particulas já estão fora do alcance da nossa percepção estão fora da nossa dimensão(tamanho) perceptível, mas elas estão lá.

    No problema 3, a probabilidade de o dardo acertar um determinado ponto dos infinitos pontos possiveis em um alvo não é maior que 100%, será sempre menor que 100% (100/100 ou 1/1), pois para nós determinarmos a probabilidade de acerto de um determinado ponto nós não somamos com uma probabilidade de acerto de outro ponto, nós multiplicamos de modo que assim o valor de acerto de determinado ponto sempre será cada vez menor, infinitamente.

    No problema 4, a probabilidade de ganho não é infinita, ela começará em 50% (50/100 ou 1/2) e irá diminuindo infinitamente, sendo assim as chances de você perder em um determinado momento será “infinitamente” maior do que a de ganhar. As chances de ganhar serão essas 1/2 – 1/3 – 1/4… irão diminuir infinitamente…

    Enfim, 4 problemas completamente inúteis e sem sentido.

  • RenysKenys:

    Tudo é infinito, mas convivemos muito bem com isso.

    • Kilote César:

      Não sabemos se tudo é infinito, se for você não acha que seria aceitável a teoria que o universo dá loops(voltas) infinitos?

  • Evandro Oliveira:

    A idéia sobre o trabalhar com questões infinitas não foi um rapido passo na História. Foi um processo de centenas ou milhares de anos. Newton certamente, com o Calculo Integral foi quem marcou grandemente a sua conquista!

    Mas seria muito interessante para todos, no meu ver, conhecerem Calculo (o como é usado no curso superior de matemática). Terem as noções de Infinito, Precisão Infinita, Distancia = 1/infinito = 0. Infinitos que convergem para um número finito (como a Trombeta de Gabriel), e infinitos que não convergem, mas que “vão para o infinito” (exemplo, é pensar no contrário da Trombete de Gabriel, ao invés de observar no sentido que se afunila, pensar na campana cada vez maior, e maior, e maior…, ai sim iriamos precisar de uma quantidade infinita de tinta)…

    Vale também lembrar da questão do ZERO! Demorou milenios para esse conceito ser formado e aceito. Hoje temos e acreditamos no Zero por Tabu, sem pensar. Mas não é nada simples. Há vários Paradoxos. Alias, por que não podemos dividir um número pro zero?

    Infelizmente, ficou faltando talvez o mais conhecido e importante Paradoxo sobre infinitos: “O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga de Zenão”.

  • Edson Mogdans:

    Muito legal, mas deu lag no meu cérebro ‘-‘

  • Kermit Figueiredo:

    me corrijam se eu estiver errado, mas a probabilidade de acertar o alvo não tem haver com a área do alvo e a área que a ponta do dardo atinge.

  • Du Silva:

    muito interesante,mais tem q ter uma leitura com mais tempo para intender direitinho todos os paradoxos,concordo com o amigo ai em baixo,deu dor de cabeça.

  • Humberto Sousa:

    Eu não achei nenhum dos 4 paradoxos coisa de outra mundo, como imaginei que seria quando comecei a ler a matéria.

    O primeiro é furado já no começo, pois se eu tenho infinitos quartos como eles estão todos ocupados?

    O segundo é derrubado na hora que diz que a superfície é infinta, mas o volume não. Oras, como não? Aqui talvez eu não tenha entendido o conceito chamado “ideia matemática” no texto, mas me parece outra premissa sem fundamento.

    O terceiro diz que a probabilidade do dardo acertar aquele ponto é infinito, e que a probabilidade não pode ser maior que 100%. Mas não é maior que 100%, pois se eu tenho infinitos pontos, com infinitas probabilidades de acertá-lo, logo tenho 100%, nem um pentelho a mais. Estou errado?

    O quarto é totalmente louco. Como alguém que tira cara ganha o dobro e que tira coroa fica com o dinheiro apostado? Isso não precisaria nem ser um paradoxo, pois é óbvio que a pessoa nunca perderá dinheiro.

    Sei lá, posso e provavelmente estou errado em todas as minhas afirmações, mas gostaria de discutir melhor aqui nos comentários sobre esses tais “problemas”.

    • Lucas Fialho De Aráujo Barbosa:

      No trombeta gabriel vc está errado, ela não é uma idéia, é provada matematicamente. A questão aqui é abrir os olhos para algo contra intuitivo.

  • Thallys:

    Infinitas dores de cabeça

  • Islan Victor:

    Muito interessante isso mas fiquei com dor de cabeça.

    • claudiohagra:

      eu também! Vou tomar um tilenol!

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