Fractais: afinal, o que são?

Por , em 23.12.2013

Afinal, o que são os fractais?

Com o advento da computação gráfica, a geometria fractal escapou do campo da matemática pura e ganhou ares de concepção artística e vedete da tecnologia de ponta.

Hoje é aplicada nas mais diversas áreas do conhecimento humano.

Só para citar alguns poucos exemplos, na Química do estado sólido, observamos avanços significativos na microcristalografia, cujos modelos fractalizados desempenham um papel preponderante no desenvolvimento de microchips cada vez mais sofisticados, lembrando que o microchip é o coração de nossos sistemas computadorizados e também da eletrônica como um todo.

Também é digno de nota que os modelos fractais têm favorecido a descoberta de novos estados e processos de cristalização utilizados na purificação de ativos na indústria farmacêutica.

Na prática isso representa medicamentos mais efetivos e com menor custo de produção.

Além destas duas fantásticas contribuições na ciência e na tecnologia, a geometria fractal é capaz de proporcionar belíssimas imagens em programas de concepção artística e oferece um novo e fecundo campo de pesquisas na topologia, na climatologia, na microbiologia, nas ciências da computação, e por aí vai, e claro, não se esquecendo, obviamente, dos grandes desafios oferecidos no próprio campo de seu desenvolvimento primordial — a matemática.

Mas afinal o que são fractais?

Uma resposta categórica iria requerer um pacote de equações matemáticas bem robustas, que deixariam até nosso leitor mais geek de cabelo em pé.

Para evitar esse calafrio na espinha, vamos partir de um conceito um pouco mais simplificado, para termos pelo menos uma ideia do que é um fractal:

“Fractal é uma figura geométrica não-euclidiana dotada de autossimilaridade, recursividade, holismo e amplificação”.

Do começo:

Uma figura geométrica não-euclidiana é aquela que não é prevista pela geometria desenvolvia pelo célebre matemático da antiguidade clássica Euclides de Alexandria, que preconiza a existência de figuras de acordo com as dimensões espaciais percebidas pelo ser humano e caracterizadas por números naturais.

Um paralelepípedo, por exemplo, apresenta três dimensões espaciais, seu comprimento (b) , altura(c)  e largura (a).

paralelepipedo

Já um retângulo apresenta duas dimensões espaciais, seu comprimento (a)  e sua largura (b).

retangulo

E uma reta apresenta apenas uma dimensão espacial, seu comprimento e  ponto não apresenta dimensão espacial mensurável, ou, mais especificamente, podemos afirmar que a dimensão topológica do ponto é nula ou igual a zero.

Assim, por extensão de conceito, ao afirmarmos que um fractal é uma figura geométrica não-euclidiana, estamos afirmando que  seria uma figura cuja  dimensão topológica não poderá assumir os valores, zero, um, dois ou três.

Em síntese um fractal teria dimensão intermediária a esses números naturais (1, 2  ou 3) ou em outras palavras, apresentaria uma dimensão fracionária — um valor de dimensões topológicas intermediárias entre 0 e 1, ou 1 e 2, ou 2 e 3, etc.

Por exemplo:

Um dos fractais T (ou fractal régua T) pode ser concebido pela repetição do padrão T (padrão esse facilmente construído por dois segmentos de reta perpendiculares entre si, obviamente formando a letra T).

Imagine que a partir das extremidades do segmento de reta horizontal, escrevemos novas letras T sucessivamente, fazendo com que o número de repetições desse padrão tenda ao infinito.

fractal T

Para efeitos práticos, usando computadores, estabelecemos um número de repetições na ordem de trilhões, e dessa feita, já podemos arranhar uma topologia intermediária à da reta (dimensão topológica 1) e a do plano (dimensão topológica 2).

Nesse exemplo singelo (os matemáticos que, por favor, me perdoem a simplificação) podemos perceber as outras características do fractal:

  • Autossimilaridade (também denominada egossimilaridade): existe um padrão que se repete tanto na parte quanto no todo. Nesse caso o padrão é a letra T.
  • Recursividade ou iteratividade: é a própria repetição do padrão em si.
  • Holismo (ou sinergia): o todo é superior à soma das partes. A partir de figuras de uma dimensão (duas retas) se constrói uma figura (quase) bidimensional. É evidente que quanto maior o número de repetições do padrão (iteração) mais próximo de 2 chegará o valor do número de dimensões topológicas dessa figura.
  • Amplificação: uma figura fractal poderá sempre ser “ampliada” ou “amplificada” se aumentarmos o número de repetições (iterações) — daí a necessidade da utilização da computação para a construção de modelos mais aproximados dos fractais.

Abrindo um parênteses:

O holismo de acordo com a Teoria da Complexidade é típica dos sistemas não-determinísticos, ou seja, sistemas não-lineares, aqueles que não podem ser determinados pela resolução de sistemas de equações matemáticas. Por exemplo, a previsão do clima, da formação de cristais, das dinâmicas de reações químicas, etc.

É importante frisar que o termo “holismo”, assim como o termo “quântico” tem sido usado de forma indiscriminada pelas mais diversas correntes de pensamento em todo o mundo, seja para propalar seus conceitos e ideias originais valendo-se de uma terminologia mais rigorosa, seja para vestir com o manto criterioso da ciência conceitos notadamente não-científicos.

É importante evitar a confusão!

Fechando o parênteses.

Muitos fenômenos naturais são fractais aproximados ou pseudo-fractais.

Por exemplo:

  • O desenvolvimento geométrico de estruturas vegetativas de algumas plantas como a samambaia, couve-flor, romanesco, etc.

 

Floresta Fractal  (Walt Stoneburner)

Floresta Fractal (Walt Stoneburner)

Romanesca (brocoli) - Wikipedia

Romanesca (brócoli) – Wikipedia

  • A formação de cristais de muitas substâncias como é o caso da formação do gelo.

 

Cristais de gelo (STS Photography)

Cristais de gelo (STS Photography)

  • A topologia das bacias hidrográficas, do sistema circulatório, do perfil de montanhas.

 

Fractal (Jonathan Wolfe)

Fractal (Jonathan Wolfe)

 

Fractal Mountain (Craig)

Fractal Mountain (Craig)

Esses padrões podem ser gerados por computador e proporcionam uma jornada interativa interessante, com concepções e criações plásticas belíssimas.

implantefractal

Um dos programas gratuitos mais utilizados é o XaoS da Fractal Foundation, que possibilita geral belíssimos fractais e navegar numa imersão virtual pelo “universo fractal”, além de poder alterar alguns de seus elementos geradores e obter “criações próprias”.

O estudo dos fractais aparece como “ponta do iceberg” de um tema muito mais abrangente, que tenta ser abarcado pela célebre “Teoria da Complexidade”.

Mas isso já é assunto para um próximo artigo, não perca!

 

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[Imagem de abertura: Fractal de Kacey]
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