Os exemplos dificultam aprender matemática

Por , em 29.04.2008

Um novo estudo sugere que dar exemplos concretos para ensinar os conceitos abstratos de matemática, uma técnica que os professores acreditam ajudar o ensino, faz exatamente o contrário.

“Um trem sai da estação A a 80Km/h e outro da estação B, que está a 250km de distância, no mesmo instante, a 100km/h. Quanto tempo levará para eles se encontrarem?”

A cada dia os professores incorporam mais e mais exemplos práticos ara ensinar os conceitos abstratos. Mas um estudo da Universidade Estadual de Ohio (EUA) sugere que é melhor deixar as maçãs, laranjas e locomotivas para o mundo real e, na sala de aula, concentrar-se em problemas abstratos. Nesse caso 80 (t + 1) = 250 – 100t, onde t é o tempo de viagem em horas do segundo trem.

Jennifer A. Kaminski, pesquisadora da universidade, disse que a crença dos professores de que ensinar através de exemplos concretos é mais eficiente não passa disso: uma crença. Os resultados do estudo foram publicados na edição da última sexta-feira da revista científica Science.

Foram realizados experimentos aleatórios controlados (coisa rara em pesquisas educacionais) com estudantes universitários voluntários. Mas os cientistas acreditam que os resultados podem ser aplicados também ao ensino fundamental.

No experimento os estudantes aprenderam um sistema matemático simples, mas desconhecido por eles, que é essencialmente uma série de regras. Alguns aprenderam o sistema através de símbolos puramente abstratos e outros através de exemplos concretos como combinar líquidos em copos de medida e bolas de tênis em um recipiente.

Em seguida os estudantes foram testados em uma situação diferente — foi dito a eles que era uma brincadeira infantil — que usava aquela matemática. “Nós dissemos aos estudantes que poderiam usar o conhecimento que haviam acabado de adquirir para descobrir as regras do jogo”, disse Jennifer.

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45 comentários

  • Cássio Mello:

    Discordo, como um aluno vai aprender a usar o que aprendeu, se não conhecer nenhum exemplo de base? No caso do trem, imagina se ensinassem somente a fórmula para solucionar o problema. Se tivesse uma outra questão dizendo q 2 projéteis estão viajando na mesma direção com velocidades diferentes, já não saberiam fazer…
    E o problema, às vezes, é exatamente esse… Os professores mantém a abstração de fórmulas e os alunos acabam não conseguindo fragmentar o problema, restringindo suas aplicações. Além do fato de esquecer facilmente depois de um tempo…
    Pergunte para qualquer vestibulando de uma universidade concorrida: “você decora fórmulas abstratas, ou deduz cada fórmula que estuda e tenta resolver problemas práticos com elas, a fim de se preparar pro vestibular?”. Certamente será a 2ª opção.

    • Augusto Cezar:

      Não é que não se pode usar exemplo, é que se deve primeiro ensinar a matemática abstrata, para depois mostrar e cobrar exemplo prático de como usá-la. E sim, alunos de pré-vestibular decoram fórmulas abstratas, mas com musiquinhas e macetes, o que não deveria ser usado, deveria ser como você disse, deduzindo a fórmula

    • Igor.R:

      Tambem discordo plenamente.

      Matematica em matemática é talvez uma das coisas mais complexas que existem.

      Ensinar o porquê das representações abstratas por numeros é uma coisa realmente complicada. Estou cursando engenharia elétrica, e talvez uma materia cuja aplicação matematica- matematica, chamada algebra linear, números complexos, são coisas realmente pouco imagináveis. Na verdade é praticamente o mesmo caso de se ensinar para uma criança o porquê das representações abstratas por numeros e tais operações.

      A maneira mais prática é por representações reais e concretas, por exemplo a mecânica, a geometria plana e vetorial, são simples, práticas e entendíveis, além disso a maior parte das aplicações provém desses ramos.

  • Daniel silva:

    Na minha opinião a matemática serve para desenvolver nosso raciocínio logico ,e o português ajuda na interpretação que vamos usar quando termos que tomar decisões difíceis pode ser em uma (empresa) e em momentos difíceis em que vamos ter que usar o raciocínio em um curto espaço de tempo, pode ser pra qualquer situação. E interpretação que vamos usar em determinadas situações do dia dia pra não sermos ignorantes e buscarmos novas idéias inovadoras ou desenvolver; no caso raciocinar e interpretar .Esta ai o porque quando estudamos matemática devemos não deixar de aprender certas coisas pois , na matemática aquilo que é deixado para trás acaba nos prejudicando de alguma forna lá na frente e trazendo dificuldades, lembrando que nem todos na sala de aula aprendem na mesma velocidade alguns aprendem estudando em casa sozinho e outros quando estão em publico, é preciso um acompanhamento dos pais e e conhecimento desses para auto – ajuda .

  • Daniel silva:

    Na minha opinião a matemática serve para desenvolver nosso raciocínio logico ,e o português ajuda na interpretação que vamos usar quando termos que tomar decisões difíceis pode ser em uma (empresa) e em momentos difíceis em que vamos ter que usar o raciocínio em um curto espaço de tempo, pode ser pra qualquer situação. E interpretação que vamos usar em determinadas situações do dia dia pra não sermos ignorantes e buscarmos novas idéias inovadoras ou desenvolver; no caso raciocinar e interpretar ,esta ai o porque quando estudamos matemática devemos não deixar de aprender certas coisas pois ,pois na matemática aquilo que é deixado para trás acaba nos prejudicando de alguma forna lá na frente e trazendo dificuldades lembrando que nem todos na sala de aula aprendem na mesma velocidade alguns aprendem estudando em casa sozinho em outros quando estão em publico é preciso um acompanhamento dos pais e e conhecimento desses para auto – ajuda .

  • Milly:

    Eles até Dão meios de Aprender .. Mais é Um meio deles ! Que a gente não consegue nem entender..e quando estamos entendendo .. Pronto Já estou em outro assunto com outra Tecnica .. O Problema também é que eles passam Muuitos assuntos diferentes .. Isso confundi muuitos alunos ! Inclusive eu ! –‘ Amanhã prova de Matemática …. Boa sorte Pra Mim 🙂

  • Milly:

    Eles até Dão meios de Aprender .. Mais é Um meio deles ! Que a gente não consegue nem entender..e quando estamos entendendo .. Pronto Já estou em outro assunto com outra Tecnica .. O Problema também é que eles passam Muuitos assuntos diferente .. Isso confundi muuitos alunos ! Inclusive eu ! –‘ Amanhã prova de Matemática …. Boa sorte Pra Mim 🙂

  • Milly:

    Oieee ! Eu até concoordo com esse Estudo,Pesquisa, por que meu professor passa Exemplos … E Muuuuitos ! quando é atividade ele manda a gente ver os Exemplos .. Eu Vo e olho mais vejo que são Coisas Extremamente diferentes ! Eu não entendo … Não entendo a matemática !!! De verdade ?? É tanta coisa que confuundi a minha cabeça… !!!

  • Krani Lupus:

    Não pude deixar de resolver o problema dos trens.
    A equação dos espaços do trem A é S = 80t; a do trem B é S = 250 – 100t. Como o enunciado pede o instante em que eles se encontram, temos Sa = Sb, portanto 80t = 250 – 100t.
    Resolvendo a equação, vem t = (25/18) horas.
    Resposta: os trens se encontram após 1 hora, 23 minutos e 20 segundos.

  • Luan:

    f (x) = ax+b na qual x>o , onde x corta o eixo x blablabla , asneras que nunca vou usar na minha profissao ¬¬ ( sinceras desculpas aos professores de matematica , fisicos etc =P )

    • Cássio Mello:

      Isso depende… Professores de ensino fundamental e médio têm q passar conteúdos básicos sobre todos os assuntos, pois cada um irá seguir por uma profissão diferente… No teu exemplo, se tu fosse fazer engenharia, isso seria fundamental.
      E não tem como mudar isso, um aluno só sabe o que quer fazer quando já está quase se formando, e ainda têm dúvidas. Privá-los de certos conhecimentos pode fazer com que eles não descubram um nicho de trabalho no qual se agradem…

  • Javier García López:

    Trata-se de um discussão muito interessante, da qual me permito extrair as seh]guintes conclusões, arriscando parecer profeta do acontecido.
    É clar que não existem receitas prontas, a aprendizagem de matemática tem se mostrado problemática e não é com mudanças simples que vai-se reverter esse quadro.
    Me preocupa em demasia, a reiterada associação que se faz do “decorar” fórmulas. Quem decora fórmulas é porque não as entendeu. O problema está em que muitas vezes a avaliação de matemática permite que alunos que apenas decoraram as fórmulas sejam bem sucedidos, isso termina criando duas inverdades. A primeira, que decorando fórmulas se está aprendendo matemática. A segunda, que “eu sou bom” em Matemática. Ambas são nocivas. Mas, cuidado, este tipo de “aprendizado” se faz de formas sutéis, quando o professor, larga, dezenas de execícios, iguais, mudam apenas os valores, ele está fazendo que os alunos memorizem o procedimento para resolver esse problema. Via de regra, esses professores, nas avaliações, colocam o mesmo tipo de problema. Resultado, que fez os exercícios, conseguiu decorar os procedimentos e se “dá bem”. Porém, matemática não aprendeu.
    É claro que se tem que começar com o concreto, para isso começamos com as operações aritméticas, mas sem sua generalização, que só ocorrerá na Álgebra, o aprendizado será incompleto. Aqui talvez, a meu modo de ver radica o maior problema, na pouca importância que se dá à Algebra, a qual é vista como um punhado de fórmulas, as quais, se decoram sem entendé-las, quando se precisa delas, não se sabe usá-las.

    • vicente:

      vc ewsta equivocado

    • Leandro:

      O senhor Javier esta correto e o aplaudo. Estou cursando o nivel superior em engenharia(CIVIL) e todos os ministros(professores) afirmam que devemos manter nossos pés no chão, para nunca viajar e procurar ao certo o porque aquilo… dai comprovo as afirmações de Javier… resolvo os problemas, esboço os vetores, grandezas mais enfim na pratica tudo é totalmente diferente, será que devo terminar o curso para aprender a usar a famosa MATEMATICA APLICADA hehehe

      Complicado, afirmo que as escolas poderiam ministrar o que chamamos de Principio da Matematica e mostrar porque aquilo ou para que serve aquilo… sair da sala e fazer uma AULA DE RECREAÇÃO e lá fora vermos os movimentos da natureza, mostrar porque estamos nos aprofundando nisto, explicar sobre a gravidade e relacionar conteudos basicos de matematica com trigonometria… relacionar toda a MATEMATICA APLICADA(exatas)…

      Não mostram que a matematica é algo surpreendente, algo sublime e fantastico, mostra apenas um professor cansado, esgotado e triste porque pegaram alunos de outros ministros desta materia(no qual os viciaram)… TRISTE

      Abraços meus caros

      Atenciosamente

      Leandro Godoy

  • Aristides Neto:

    Olá, Wagner.
    Feliz Ano Novo.
    Acho que você deve tentar sim. E tentar com muita dedicação.
    Algum problema ocorreu na sua caminhada. Algo muito comum é acharmos que vamos indo bem, olhando somente para as notas. Muitas escolas levam os alunos a se acharem bons, não que eles não sejam, mas a falta de comparação com outras escolas os deixa confiantes. Quando mudam os parâmetros, a realidade vem à tona. O professor carismático, é bom. O professor rígido, é bom. Mas, o melhor mesmo, é a fusão dos dois, em uma pessoa com muito conhecimento da matéria.
    E o melhor aluno? Qual é? É o que se dedica, é o que tenta ultrapassar o que foi mostrado, é o que pesquisa, é o que não desiste, é questionador e é curioso.
    Vá em frente com seu pensamento de resgatar isso. Você irá conseguir. Como dica para descobrir onde parou o seu conhecimento. Pegue livros de 5ª até a 8ª séries (6º ao 9º anos) e revise-os. Vai ver com seus próprios olhos o que falei acima. E se precisar, peça ajuda.
    Boa sorte.

  • Wagner:

    Eu era muito bom em matemática e a adorava até a oitava série, peguei o ensino médio e tudo virou um desastre, eu criei RAIVA DO professor, da turma, do colegio, de tudo,. e principalmente de matemática e de seu professor que igualmente me odiava, eu realmente era bom, depois, tudo foi um desastre…
    Tirei 1,0 numa prova de recuperação, eu estava condenado ! Na recuperação final fiz algum desesperado milagre e por um triz passei… no ano seguinte, no segundo ano, foi tudo a mesma coisa, tragédias atrás de tragédias, ódio ao novo professor e aquele sistema cretino que me impunha tanta coisa técnica, eu passei a ODIAR técnica, então cheguei na recuperação final precisando tirar 7,0 para passar ! PASSEI O NATAL ESTUDANDO !!! ( QUE HERESIA…), mas consegui DECORAR como se resolvia cada tipo de exercício e escapei por mais um milagre !!
    Como pode um aluno que era bom em matemática ter ido para esse abismo ?? Foi psicológico ? foi o professor ? eu me pergunto isso até hoje… toda uma carreira técnica, quem sabe uma engenharia, tudo destruído… hoje estou na humanas, mas tenho dúvidas se valeria a pena eu tentar lutar com matemática de novo ??

  • taisa:

    nossa parece que eu tenho um bloqueio para aprender..
    agora coloquei uma meta que estudarei pela web e irei intender tdo..
    só sei o básico de somar multiplicar e subtrair pq dividir com mtos numeros principalmente na chave já me embanano toda!
    se possível gostaria que me enviasse por email alguns sites que eu possa aprender sem pagar!
    obrigada
    Taisa

  • maxuel soares:

    matmatica não é coisa de 7 cabeças mais é dificil até o nome matmatica eu escrevo errado

  • maxuel soares:

    não gosto de matemtica até o nome eu escrevo errado queria saber de verdade as tecnicas para aprender essa matéria!!!!!!!

  • Gerli:

    É por causa deste tipo de pesquisa que a matemática vem se tornando um pesadelo para os alunos. A matemática nasceu da necessidade humana, ela está presente em todos os momentos da nossa vida, desde o momento em que acordamos até a hora que vamos dormir. Tudo que existe ao nosso redor exige uma linguagem matemática para ser melhor compreendido.
    Como é que eu vou colocar na cabeça do meu aluno que a matemática está presente no dia-a-dia dele, se os problemas que passo na sala de aula não tem nada haver como a vida dele fora da escola?
    Como eu quero que meus alunos aprendam matemática, se eu a ensino como se ela fizesse parte de mundo no qual eu nunca terei acesso?
    Os exemplos contextualizados são uma fote ferramenta para que os alunos entedam que a matemática nada mais é do que uma leitura das coisas que ficam ao seu redor.
    Me diga sinceramente, o que significa ( 80 (t + 1) = 250 – 100t)? Isso não quer dizer nada para o meu aluno, mas quando eu digo que um carro sai de uma determinada cidade e ao mesmo tempo um outro carro sai de uma outra cidade, eu faço com que o meu aluno pense nos acontecimentos do seu cotidiano, é a partir desse momento que ele começa a formar a sua própria linha de pensamento, a partir de uma realidade e não de um emaranhado de números que não significam nada para ele.

  • Aristides Neto:

    Aprender matemática exige do aluno algumas habilidades específicas, que podem ser desenvolvidas. Entre elas está a habilidade de expressão lógica. Entendam essa habilidade como a capacidade de transformar um texto ou situação em sentença,função, equação matemática, etc. Eu diria, modelagem matemática.
    Se pensarmos em matemática como uma linguagem, concluiremos que para sermos fluentes nessa linguagem, precisaremos exercitar. Por isso, os exercícios em matemática são tão importantes. Ao exercitar você constrói seu conhecimento com a ferramenta comunicação. Não há como aprender matemática sem exercitar. Não há como aprender matemática sem aprender a abstrair. Não há como aprender matemática sem querer aprender matemática. Não há como aprender matemática sem disciplina, tanto para estudar como para escrevê-la.

    De um modo geral, considerem a matemática como um espelho. Se você fizer careta para ela, terá uma careta de volta.

  • danielli:

    oi meu nome é danielli eu tenho muitas difilculdade para aprender matematica eu ia muito bem em uma escola + a minha mãe foi se mudar e coloco eu em outra escola ai fico na sala de espera até hoje não chamou ai éla colocou eu numa outra escola + eu odiei aquela sala até a professora mudava de classe por que essa classe que eu tava era uma danada bagunça e por causa dessa classe eu não sei se vou repitir e é a primeira vez que eu to pensano nisso eu era muito boa em matematica agora nem conta de + eu não sei fazer eu quero uma super ajuda olha eu queria ta no passado era muito mais melhor do que o presente não veja a hora de chegar o futuro hennn

  • Javier García López:

    Ao meu modo de ver, existe um mito de que se aprende matemática fazendo muitos exercícios. O que ocorre é que a avaliação de Matemática, via de regra, é a de solução de problemas-tipo. O aluno aprende a fazer esses problemas, os que resolve aplicando procedimentos que não se preocupa em entender, dessa forma termina aprovando com boas notas, o que lhe passa a falsa impressão de estar aprendendo. Quando precisa aplicar os conceitos envolvidos nesses problemas, raramente é capaz de fazê-lo. Meses depois, quando não semanas, não lembra mais do assunto. Nesse sentido, talvez é que o uso da abstração possa melhorar o aprendizado de matemática, pois o aluno terá que entender os conceitos sem se preocupar com sua aplicação ocncreta imediata.

  • Elizabeth:

    Concordo com o estudo, mais isso se aplica de certa forma as pessoas que possuem um QI menor tendo em vista que se o exemplo for apresentado a uma pessoa que já tenha o domínio da formúla ou que teve facilidade de aprendê-lo conseguirá uma aplicação prática para aquilo que é abstrato no caso de alunos talvez seja mais interessante aprender o abstrato e depois casa-lo com o real mais no início sem os exemplos como foi o que ocorreu no estudo no qual o grupo de alunos apos terem aprendido de forma abstrata a formúla se deram melhor na aplicação do que sob formas de exemplos é difícil se compreender melhor sob forma de exemplos e aplica-los em outros exemplos quando se trata da vida cotidiana.

  • marcelo:

    Os professores de matemáticas fazem cada servicinho mal feito, o aluno romântico e infantil não deve conseguir aprender direito com exemplos concretos.Professores que dão provas abstratas de matemática não fazem melhor que um cara romântico que escreve um poema meloso para uma dona que não gosta dele.A escola pública coloca tantas barreiras ridículas que muitas vezes o melhor professor, é um professor relaxado, ao menos ele não aumenta o estresse do aluno.

  • taty:

    acho que o importante na matemática é o seu uso na prática, portanto, exemplos são necessários para assimilar o conceito. Lembro-me de quando fazia o cursinho o professor nos ensinou como chegar na origem da fórmula sem ao menos usar numeros e a partir daí se podia fazer qualquer exercicío. Lembrar que a matemática é um instrumento pra resolver problemas e esses tem origem CONCRETA.

  • Arthur:

    Na minha opinião pessoal essa coisa de “exemplos” realmente dificulta um pouco, o mais fácil seria ir direto à fórmula, porém o que mais dificulta mesmo é a falta de estudos (nunca me esforcei a ponto de poder culpar os “exemplos” por uma possível nota baixa). Sou aluno 1º ano 2º grau.

  • Fabio Machado:

    Na tradução do texto original esta faltando a informação que os trens partem com uma hora de diferença. Na tradução diz que os trens saem simultaneamente. A fórmula, que estava correta para o texto original, foi simplesmente copiada. Para o texto traduzido, esta errada. O problema do ensino na matemática não está no falso dilema entre abordagem teórica e exemplos práticos. O principal problema está no fato de que as pessoas envolvidas com o ensino da matemática, pouco sabem e pouco entendem sobre esta linda matéria. O texto acima e seu erro tolo é um bom exemplo.

  • Silvia:

    A revolução de se trabalhar com o concreto surgiu como algo facilitador que prometia resolver problemas na deficiência da aprendizagem. No entanto, com o passar dos anos, a deficiência continua. E percebo que os estudantes de outrora, muitas vezes, apresentam uma educação de mais qualidade. Sei que cada pessoa tem seu “jeito de aprender”, mas, atualmente, muitas crianças realmente padecem por não desenvolverem a ponte abstrato-concreto em algumas fase do processo. A escola poderia oferecer ao professor a liberdade de trabalhar o método que melhor se adapte a seus alunos, somando o que há de melhor em cada um. O importante é que a educação seja eficaz. Que bom que novos estudos estão trazendo novos caminhos!

  • Aristides Neto:

    A pesquisa talvez contemple o assunto parcialmente. Percebo que existem dificuldades: Modelagem matemática, compreensão das relações entre as operações ( decompor polinômios e desenvolver produtos notáveis), pouca memória (não é trocadilho – esquecem as prioridades e concatenações) para processar uma expressão, confundem as regras de operações com sinais, lembram-se vagamente de potências e quando dizem lembrar confundem o resultado (2 elevado 3 = 8, alguns – não são poucos – sugerem 6). Freqüentemente lêem muito mal, não conseguindo interpretar os enunciados. A maioria não lembra da tabuada. É comum eu ter que nivelar os alunos antes de prosseguir qualquer novo tema. Tenho lido muito a respeito das dificuldades e até agora o que há de mais concreto é o desinteresse. Em algumas situações consigo reverter esta situação utilizando laboratório criado por eles. Exemplo: Funções com dados coletados de um recipiente com água e um cronômetro. Entre outros.

  • joca:

    sou monitor de matérias de física em uma universidade, e vejo que a dificuldade da maioria dos alunos que eu atendo é justamente a modelagem matemática do problema. me parece que esa dificuldade da matemática da maioria das pessoas está relacionada ao “uso prático” da mesma… concordo que talvez nas etapas mais basicas do aprendizado, esse método de não usar exemplos práticos seja util, mas acredito também que a implementação de problemas práticos deve ser utilizada sempre que conveniente, para que os alunos se habituem a isso. afinal de contas, para que nos serve a matemática se não para de fato resolver esses problemas práticos?

  • Rabelo:

    Ao Diogo Flora, refazendo o cálculo: usando valores mais próximos do real, o resultado ficará mais próximo da realidade. Usando seu cálculo temos:
    Fazendo-se a prova: 1,388(100) + 1,388(80) = 248,…
    138,88 + 111,04 = 249,92

  • Marcus:

    Uma coisa é uma coisa Outra coisa é outra coisa. Na minha opinião cada cérebro tem uma estrutura diferente em analisar um problema. O correto seria um processo de identificar qual o melhor método para ensinar. Pode até parecer utopia na prática. Somos todos iguais mas com caracteristicas unicas. Como explicar alunos com maior facilidade em aprender? Nem sempre depende do professor.

  • Felipe:

    Avalio essa pesquisa como ingênua.
    Se estivermos dispostos a formar maquinas de calcular, tudo bem (até onde me lembro temos computadores disponiveis para tanto).
    Mas quanto ao âmbito do desenvolvimento cognitivo, de conceitos e ideias, o que de fato a matemática é, esse tipo de “receita de bolo” deixa muito a desejar.
    Lembremos que a arte de fazer contas é apenas uma pequena faceta da matemática, sendo esta, em sua completude, muito mais ligada ao campo de manipular ideias abastratas, criar, inventar, desenvolver raciocínios, heurísticas, padrões lógicos de pensamento.
    Definitivamente não se trata de aplicar formulas às cegas.

  • Ana Simão:

    Sou professora da primeira a quarta série do Ensino Fundamental, da rede estadual. Eu já havia percebido isso. Qual não foi minha surpresa quando vi esse artigo! A rede estadual estimula os professores a trabalharem com o Construtivismo, mas o professor muitas vezes exagera no “concreto”. Pode ser o motivo dos péssimos resultados em matemática dos alunos da rede estadual. Já notei, na minha prática, que há muitos alunos que têm dificuldade em fazer a ponte concreto-abstrato, se perdendo nesse caminho. O professor deve ter sensibilidade para dosar concreto-abstrato conforme a resposta do aluno. É por isso que não se dá para utilizar aulas prontas ou projetos prontos – cada classe é única.

  • roberto:

    o valor de T= 1,3888888888888888888888888888889 hs
    e so 1 hora e 23,333 mminutos

    mole mole

  • Clovis:

    Não são os exemplos que dificultam aprender matemática, a forma como são apresentados e resolvidos sim. Só uma perguntinha: ” Alguém já viajou, em qualquer meio de transporte saindo com velovidade de 80 ou 100 km por hora?

  • Pedro:

    A mágica para aprender matematica está na habilidade do professor em ensinar e na predisposição do aluno em aprender, pois, cada um de nos nasce com uma habilidade ou tendencia especifica, no meu caso sou forte em matematica mais não gosto de português acredito que entre vocês aconteça a mesma coisa amenos que tenhamos algum gênio aqui !!

  • Alex Keher:

    O estudo talvez não esteja considerando as diferentes formas de inteligência. Algumas pessoas decoram fórmulas prontas com mais facilidade e as aplicam mesmo sem uma compreensão mais profunda de seu funcionamento. Outras, mais raras, se sentem mais confortáveis compreendendo o funcionamento dessas fórmulas e praticamente reinventando-as quando necessário. Para conhecer uma fórmula profundamente, a sua aplicabilidade, e portanto os exemplos são imprescindíveis.
    Se, no entanto, o que vale é a capacidade cognitiva da maioria em detrimento da qualidade da minoria analítica, o estudo estaria revolucionando positivamente o ensino.

  • Niellington:

    Concordo com o Eduardo, acho que cada caso é um caso cabe ao professor ter competencia para percebe….

  • Eduardo:

    Acho absurdo, eu aprendo tanto pelo exemplo quanto pela fórmula!!!

  • Alilian:

    Quero dizer que todo o meu problema com frações começou na terceira série do ensino fundamental por causa de umas malditas barras de chocolate que a professora usava como exemplo, para mim era muito mais fácil quando via a fração em si, mas quanto ela explicava com o exemplo de barras de chocolate pintadas e outras guloseimas ela me confundia totalmente e até o dia de hoje eu achava que o problema era comigo… Fui aprender de fato frações ja no ensino médio com as fórmulas logarítimas.

  • Diogo Flora:

    Concordo com o Guilherme. Se realizarmos a operação indicada pela fórmula verificaremos a impossibilidade, pois o tempo t descoberto faria com que os trens percorram, juntos, uma distância inferior a 250Km.

    Acredito que a fórmula correta seja gerada a partir do sistema:
    80t = x
    100t = 250 – x

    Isolando-se o x e igualando-se as equações resultantes temos: 80t = -100t + 250 => 180t = 250 => t = 1,3888…

    Fazendo-se a prova: 1,38(100) + 1,38(80) = 248,…

  • Guilherme:

    A resolução do problema dessa forma ( 80 (t + 1) = 250 – 100t ) não me parece correta.

  • Ricardo Siberi:

    Sou professor de matemática do ensino fundamental e, até o prezado momento, pensei estar indo de encontro as regras do ensino convencional. Venho aplicando, em alguns casos, uma metodologia conceitualmente parecida com a que foi pesquisada e divulgada neste artigo e, realmente, os resultados são muito significativos. Quando tentamos envolver situações reais com o cálculo em si, alguns alunos não conseguem assimilar as duas informações ao mesmo tempo e chegar ao resultado esperado, pois o foco realmente acaba sendo o exemplo, como citado no artigo, eles ficam pensando nos trens e não conseguem se concentrar nas fórmulas em si.

    Avalio como fantástica essa pesquisa. Espero que se reflita em metodologias mais envolventes e amigáveis aos educandos de um modo geral.

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