Revolução na matemática: encontrado padrão nos números primos
Os matemáticos estão surpresos com a descoberta de que os números primos são mais exigentes do que se pensava. A descoberta sugere que os teóricos dos números precisam ser um pouco mais cuidadosos ao explorar a vasta infinidade dos números primos.
Os primos, números divisíveis apenas por si mesmos e por 1, são os blocos de construção a partir dos quais o resto da linha de números é calculado, uma vez que todos os outros números são criados multiplicando os primos. Isso faz com que decifrar os mistérios dos primos seja a chave para compreender os fundamentos da aritmética.
Embora o fato de um número ser primo ou não seja pré-determinado, os matemáticos não têm uma maneira de prever quais números são primos, e assim tendem a tratá-los como se eles ocorressem aleatoriamente. Agora, Kannan Soundararajan e Robert Lemke Oliver, da Universidade de Stanford, nos EUA, descobriram que não é bem assim.
“Foi muito estranho”, conta Soundararajan. “É como uma pintura que você está muito familiarizado, e então de repente você percebe que há uma figura nela que você nunca viu antes”.
Ordem surpresa
Mas o que deixou os matemáticos tão assombrados? Além do 2 e do 5, todos os números primos têm final em 1, 3, 7 ou 9 – ele têm que ter, de outra forma seriam divisíveis por 2 ou 5 – e cada uma destas quatro terminações é igualmente provável. Mas enquanto observavam os números primos, a dupla percebeu que primos que terminavam em 1 eram menos propensos a ser seguidos por outro primo com final 1. Isso não deveria acontecer se os primos fossem verdadeiramente aleatórios – números primos consecutivos não deveriam estar ligados com os dígitos do seu vizinho.
“Na ignorância, pensamos que as coisas seriam mais ou menos iguais”, diz Andrew Granville, da Universidade de Montreal, no Canadá. “Nós certamente acreditávamos que em uma questão como esta, tínhamos uma forte compreensão do que estava acontecendo”.
A dupla descobriu que, nos primeiros cem milhões de números primos, um primo com final 1 é seguido por outro com final em 1 apenas 18,5% das vezes. Se os números primos fossem distribuídos aleatoriamente, era de se esperar dois 1s ao lado do outro 25% das vezes. Primos terminados em 3 e 7 compensam a sequência, cada um seguindo um 1 em 30% dos números primos, enquanto um com final 9 segue um 1 em cerca de 22% das ocorrências.
Padrões semelhantes apareceram para as outras combinações de terminações, todos os valores diferentes dos aleatórios esperados. Os pesquisadores também encontraram as diferenças em outras bases, onde os números são contados em outras unidades que não em 10s. Isso significa que os padrões não são um resultado do nosso sistema de numeração de base 10, mas algo inerente aos próprios números primos. Os padrões ficam mais aleatórios conforme você conta números mais elevados – foram verificados números na casa de alguns trilhões -, mas ainda persistem.
“Fiquei muito surpreso”, diz James Maynard, da Universidade de Oxford, no Reino Unido, que na audição do trabalho realizado imediatamente fez seus próprios cálculos para verificar que o padrão estava lá. “De alguma forma eu precisava ver por mim mesmo para realmente acreditar”.
Até o infinito
Felizmente, Soundararajan e Lemke Oliver apresentam uma explicação. Grande parte da pesquisa moderna sobre números primos é sustentada em G H Hardy e John Littlewood, dois matemáticos que trabalharam juntos na Universidade de Cambridge no início do século 20. Eles apresentaram uma forma de estimar quantas vezes pares, trios e grupos maiores de primos aparecerão, conhecida como a conjectura de k-tuple.
Assim como a teoria da relatividade de Einstein é um avanço na teoria da gravidade de Newton, a conjectura de Hardy-Littlewood é essencialmente uma versão mais complicada do pressuposto de que primos são aleatórios – e essa última descoberta demonstra como os dois pressupostos são diferentes. “Matemáticos saíram por aí assumindo que os primos são aleatórios, e 99% das vezes isso está correto, mas é preciso lembrar que em 1% das vezes não está”, diz Maynard.
A dupla usou o trabalho de Hardy e Littlewood para mostrar que os agrupamentos dados pela conjectura são responsáveis por introduzir este padrão dos últimos dígitos. Além do mais, como os números primos vão até o infinito, eles acabam se desprendendo do padrão e fornecem a distribuição aleatória que os matemáticos estão acostumados a esperar.
“Nosso pensamento inicial era que, se havia uma explicação para ser encontrada, nós teríamos que encontrá-la usando a conjectura de k-tuple”, diz Soundararajan. “Achamos que seriamos capazes de compreendê-la, mas era um verdadeiro quebra-cabeças”.
A conjectura de k-tuple ainda está para ser provada, mas matemáticos suspeitam fortemente que ela está correta, uma vez que é tão útil para prever o comportamento dos primos. “É a conjectura mais precisa que temos, ela passa todos os testes”, diz Maynard. “Eu vejo este resultado como mais uma confirmação da conjectura de k-tuple”.
Embora o novo resultado não tenha quaisquer aplicações imediatas para problemas de longa data sobre números primos como a conjectura twin-prime ou a hipótese de Riemann, deu uma mexida no campo. “Isso nos dá mais compreensão, cada pouco ajuda”, diz Granville. “Se o que você toma como garantido está errado, faz você repensar algumas outras coisas que você achava que sabia”. [New Scientist]
4 comentários
Com exceção do 2 e do 5, os primos terminam em 1, 3, 7 ou 9. Ele não está dizendo que todos os números com essas terminações são primos.
Os primos terminam em 1, 3, 7 ou 9 porque estão representados em base 10, em outras bases aparecem formas recursivas, como um DNA oculto.
27 termina em 7 e não é primo… 63 termina em 3 e não é primo. 39 termina em 9 e não é primo. Você sabe mesmo o que é um número primo?
Acredito que os “Primos” são o núcleo do universo e que devemos procurar uma Base Prima de como representar todos os no.s (como base 2, 10).