Matemática: 5 fatos que parecem destruir a lógica dessa ciência

Por , em 6.04.2015

A matemática é uma das poucas áreas do conhecimento que pode ser objetivamente descrita como “verdade”, porque seus teoremas são derivados de pura lógica. Ao mesmo tempo, esses teoremas são muitas vezes extremamente estranhos e contraintuitivos. Veja:

Negligenciar matemática prejudica saúde, emprego e vida em geral

5. Padrões aleatórios

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Dados aleatórios não são realmente aleatórios. Em uma determinada lista de números que representam qualquer coisa – de preços de ações a populações de cidades a alturas de edifícios a comprimentos de rios -, cerca de 30% dos números vão começar com o dígito 1. Menos deles começarão com 2, ainda menos com 3 e assim por diante, até que apenas um número em vinte começará com 9. Quanto maior for o conjunto de dados e as ordens de magnitude pelas quais se estende, mais fortemente este padrão emergirá.

4. Espiral de Ulam

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Como os números primos são indivisíveis (exceto por 1 e por si mesmos), e como todos os outros números podem ser escritos em múltiplos deles mesmos, os primos são muitas vezes considerados os “átomos” do mundo da matemática. Apesar de sua importância, a distribuição dos números primos entre os números inteiros ainda é um mistério. Não há padrão que dite quais números serão primos ou quão distantes primos sucessivos serão.

A aleatoriedade aparente dos primos cria um padrão realmente estranho conhecido como “Espiral de Ulam”. Em 1963, o matemático Stanislaw Ulam notou um modelo bizarro: quando números inteiros são escritos em uma espiral, números primos sempre parecem cair ao longo de linhas diagonais. Isto em si não é tão surpreendente, porque todos os números primos, exceto o número 2, são impares, e linhas diagonais em espirais de inteiros são alternadamente pares e ímpares. Muito mais surpreendente foi a tendência dos números primos de cair em certas diagonais mais do que em outras – e isso acontece independentemente se você começar com o número 1 no meio, ou com qualquer outro número.

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Mesmo em uma escala enorme, com centenas de números, ainda dá para ver claramente as linhas diagonais de números primos, com algumas linhas mais fortes do que outras. Há conjecturas matemáticas a respeito de porque este padrão emerge, mas até hoje nada foi comprovado.

3. Eversão de esfera


Em um importante campo da matemática chamado de topologia, dois objetos são considerados equivalentes, ou “homeomórficos”, se um pode ser transformado no outro simplesmente torcendo e esticando sua superfície. Objetos são diferentes ou não homeomórficos se é preciso cortar ou dobrar sua superfície para remodelar um na forma do outro.

Considere como exemplo um toro – um objeto em forma de donut. Na posição vertical, com um lado alargado, ele se torna um objeto cilíndrico com uma alça. Por outro lado, a fita de Möbius – loop com uma única torção – não é homeomórfico de loops sem torção (como o cilindro), porque você não pode tirar a torção de uma fita de Möbius sem cortá-la.

Por muitos anos, topologistas se perguntaram se a versão interna de uma esfera era homeomórfica a ela mesma. Em outras palavras, você pode puxar uma esfera de dentro para fora sem arrebentá-la e colá-la de novo? A princípio, parece impossível. Mas, na verdade, a “eversão de esfera”, como isso é chamado, é crível. Assista ao vídeo acima para ver como é feita. Extraordinariamente, o topologista Bernard Morin, principal desenvolvedor do complexo método mostrado no vídeo, era cego.

2. Grupos de papel de parede

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Embora padrões geométricos possam ser decorados com uma variedade infinita de floreios, matematicamente falando, existe um número finito de padrões distintos. Todos as pinturas de Escher, papéis de parede e designs geométricos são bidimensionais, arranjos de repetição de formas que podem ser identificadas como pertencentes a um dos chamados “grupos de papel de parede”. E quantos grupos existem? Exatamente 17.

1. Fórmula de Euler

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A fórmula de Euler é muitas vezes chamada de “a equação mais bonita do mundo”. Por quê? O que ela tem de tão especial?

Em primeiro lugar, a letra “e” representa um número irracional (com dígitos intermináveis) que começa em 2,71828… Ela governa a taxa de crescimento exponencial, desde populações de insetos ao acúmulo de interesse a decaimento radioativo. Em matemática, o número apresenta algumas propriedades muito surpreendentes, como ser igual à soma do inverso de todos os fatoriais de 0 até ao infinito. Na verdade, o “e” constante permeia toda a matemática, aparecendo aparentemente do nada em um vasto número de equações importantes.

Em seguida, “i” representa o chamado “número imaginário”: a raiz quadrada do 1 negativo. Ele é chamado de imaginário porque não existe um número que pode ser multiplicado por si para produzir um número negativo (números negativos não têm raízes quadradas reais). Mas, na matemática, há muitas situações nas quais somos forçados a tirar a raiz quadrada de 1 negativo. Assim, a letra “i” é utilizada como uma espécie de “substituta”.

Pi, a razão da circunferência de um círculo e seu diâmetro, é um dos números mais amados e interessantes da matemática. Como “e”, ele parece surgir do nada em um grande número de fórmulas da matemática e da física.

Juntando tudo, o “e” constante elevado à potência do imaginário “i” multiplicado por Pi é igual a -1. E, como visto na equação de Euler, somado a 1 dá 0. Parece quase inacreditável que todos esses números estranhos – e até mesmo um que não é real – combinaria de forma tão simples, mas é um fato comprovado. [LiveScience]

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