As 17 equações que mudaram o curso da história
Você sabe quais são as equações mais importantes da história?
Em 2013, o matemático e autor Ian Stewart publicou o livro “Dezessete equações que mudaram o mundo”. São fórmulas que, ao longo do tempo, moldaram nossa compreensão do universo de inúmeras maneiras. Veja:
Teorema de Pitágoras (Pitágoras, 530 aC)
Este teorema é fundamental para a nossa compreensão da geometria. Ele descreve a relação entre os lados de um triângulo retângulo em uma superfície plana: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).
Esta relação, em alguns aspectos, distingue a geometria euclidiana plana normal da geometria curva não euclidiana. Por exemplo, um triângulo retângulo desenhado na superfície de uma esfera não precisa seguir o teorema de Pitágoras.
Logaritmos (John Napier, 1610)
Logaritmos são os inversos, ou opostos, das funções exponenciais. O logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10³).
A equação acima, log (ab) = log (a) + log (b), mostra uma das aplicações mais úteis de logaritmos: transformar multiplicação em adição. Até o desenvolvimento do computador digital, esta era a forma mais comum de se multiplicar rapidamente um grande número, acelerando o tempo de importantes cálculos da física, astronomia e engenharia.
Cálculo (Isaac Newton, 1668)
A fórmula acima é a definição de função derivada no cálculo. Ela mede a taxa na qual uma quantidade está mudando. Por exemplo, podemos pensar na velocidade como sendo derivada da posição – se você estiver andando 1 km por hora, em seguida, a cada hora, você altera a sua posição por 1 km.
Naturalmente, grande parte da ciência está interessada em compreender como as coisas mudam, e a derivada e a integral – outro fundamento do cálculo – sentam-se no coração de como os matemáticos e cientistas compreendem mudanças.
Lei da Gravidade (Isaac Newton, 1687)
A Lei da Gravidade de Newton descreve a força da gravidade entre dois objetos, F, em termos de uma constante universal, G, das massas dos dois objetos, m e m, e da distância entre os objetos, d.
A lei é uma parte notável da história científica – explica, quase perfeitamente, por que os planetas se movem da maneira que se movem. Também notável é a sua natureza universal – funciona não só para a gravidade na Terra, ou no sistema solar, mas em qualquer lugar do universo.
Raiz quadrada de -1 (Leonhard Euler, 1750)
Os matemáticos trabalham com a ideia de que os números passam de naturais para negativos para frações para números reais. A raiz quadrada de -1 completa este processo, dando origem aos números complexos.
Álgebra funciona perfeitamente do jeito que queremos – qualquer equação tem uma solução de número complexo, uma situação que não é verdade para números reais: x + 4 = 0 não tem solução com número real, mas tem uma solução complexa, a raiz quadrada de -4 ou 2i.
Cálculo pode ser estendido para os números complexos e, quando fazemos isso, encontramos simetrias e propriedades surpreendentes desses números. Essas propriedades tornam os números complexos essenciais em eletrônica e processamento de sinais.
Relação de Euler (Leonhard Euler, 1751)
Poliedros são as versões tridimensionais de polígonos. Os cantos de um poliedro são chamados de vértices, as linhas que ligam os vértices são as arestas, e os polígonos são as faces.
Um cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Se adicionarmos os vértices e faces e subtrairmos as arestas, ficamos com 8 + 6 – 12 = 2. A fórmula de Euler afirma que, desde que o poliedro seja “bem comportado”, se você adicionar suas vértices e faces e subtrair as arestas, sempre terá 2. Isto será verdadeiro se o seu poliedro tem 4, 8, 12, 20 ou qualquer outro número de faces.
A observação de Euler foi um dos primeiros exemplos do que agora é chamado de invariante topológica – um número ou propriedade partilhada por uma classe de formas que são semelhantes umas às outras. Esta relação, junto com a solução de Euler ao Problema das Pontes de Königsberg, abriu o caminho para o desenvolvimento da topologia, um ramo da matemática essencial para a física moderna.
Distribuição normal (Carl Friedrich Gauss, 1810)
A distribuição normal ou distribuição de Gauss é onipresente na estatística. Essa curva é usada em física, biologia e ciências sociais para modelar várias propriedades.
Uma das razões da distribuição normal aparecer tantas vezes é que descreve o comportamento de grandes grupos de processos independentes.
Equação da onda (Jean le Rond d’Alembert, 1746)
A equação da onda é uma equação diferencial parcial linear, e descreve o comportamento das ondas (tanto sonoras quanto aquáticas quanto luminosas, como uma corda de violão vibrando, ondulações em uma lagoa após uma pedra ser jogada na água, ou a luz proveniente de uma lâmpada incandescente).
As técnicas desenvolvidas para resolver a equação abriram a porta para a compreensão de outras equações diferenciais também.
Transformada de Fourier (Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1822)
A transformada de Fourier é essencial para entender as estruturas de onda mais complexas, como a fala humana. Dada uma função de onda complicada, como uma gravação de uma pessoa falando, a transformada de Fourier permite quebrar esta função em uma combinação de uma série de ondas simples, facilitando grandemente a análise.
A transformada de Fourier é o cerne da transformação moderna e da análise de sinais e compressão de dados.
Equações de Navier-Stokes (C. Navier e G. Stokes, 1845)
Tal como a equação de onda, as equações de Navier-Stokes são diferenciais. Elas descrevem o comportamento de fluidos, como a água em movimento através de um tubo, o fluxo de ar sobre uma asa de avião, ou a fumaça de um cigarro.
Enquanto temos soluções aproximadas para as equações de Navier-Stokes, que permitem que os computadores simulem bem o movimento de fluidos, ainda é uma questão em aberto (com um prêmio de um milhão de dólares) se é possível de fato construir soluções matematicamente exatas para as equações.
Equações de Maxwell (James Clerk Maxwell, 1865)
Este conjunto de quatro equações diferenciais descreve o comportamento e relacionamento entre a eletricidade e magnetismo. As equações de Maxwell estão para o eletromagnetismo clássico como as leis do movimento e da gravidade universal de Newton estão para a mecânica clássica – são a base da nossa explicação de como funciona o eletromagnetismo em uma escala cotidiana.
No entanto, a física moderna se baseia em uma explicação da mecânica quântica do eletromagnetismo. Essas equações elegantes são apenas uma aproximação que funciona bem em escalas humanas.
Segunda Lei da Termodinâmica (Ludwig Boltzmann, 1874)
Em um sistema fechado, a entropia é sempre constante ou crescente. A entropia termodinâmica é, grosso modo, uma medida de quão desordenado um sistema é. Um sistema que começa em um estado desigual – por exemplo, uma região quente ao lado de uma região fria – sempre tende a nivelar, com o calor fluindo da área quente para a área fria até ficar uniformemente distribuído.
A segunda lei da termodinâmica é um dos poucos casos na física onde o tempo importa. A maioria dos processos físicos são reversíveis. Essa lei, no entanto, só funciona em um sentido. Se colocarmos um cubo de gelo em um copo de café quente, ele sempre vai derreter. O café nunca vai congelar.
Teoria da relatividade (Albert Einstein, 1905)
Einstein alterou radicalmente o curso da física com suas teorias da relatividade especial e geral. A equação clássica E = mc diz que matéria e energia são equivalentes entre si. A relatividade especial trouxe ideias como a velocidade da luz ser um limite de velocidade universal e de como a passagem do tempo é diferente para pessoas que se deslocam em diferentes velocidades.
A relatividade geral foi a primeira mudança importante na nossa compreensão da gravidade desde a lei de Newton. Ela é essencial para a nossa compreensão das origens, estrutura e destino final do universo.
Equação de Schrodinger (Erwin Schrödinger, 1927)
Esta é a principal equação da mecânica quântica. Do mesmo modo que a relatividade geral explica nosso universo em suas escalas maiores, esta equação governa o comportamento dos átomos e partículas subatômicas.
A mecânica quântica moderna e a relatividade geral são as duas teorias científicas mais bem sucedidas da história – todas as observações experimentais que fizemos até à data são inteiramente consistentes com as suas previsões. A mecânica quântica também é necessária para a maioria da tecnologia moderna – de energia nuclear a computadores baseados em semicondutores e lasers, todos são construídos em torno de fenômenos quânticos.
Teoria da informação (Claude Shannon, 1949)
A equação dada aqui é para obter informações da medida de entropia de Shannon. Tal como acontece com a entropia termodinâmica, esta é uma medida de desordem. Neste caso, mede o conteúdo de informação de uma mensagem – um livro, uma imagem JPEG enviada pela internet, ou qualquer coisa que pode ser representada simbolicamente. A entropia de Shannon de uma mensagem representa um limite inferior de quanto essa mensagem pode ser comprimida sem perder parte de seu conteúdo.
A medida de entropia de Shannon lançou o estudo matemático da informação, e seus resultados são fundamentais para a forma como nos comunicamos através de redes hoje.
Teoria do caos (Robert May, 1975)
Esta equação é o mapa logístico de May. Ela descreve um processo de evolução ao longo do tempo. O “k” é uma constante escolhida. Para certos valores de k, o mapa mostra comportamento caótico: se começarmos em algum valor particular de x, o processo irá evoluir de uma maneira, mas se começarmos com outro valor, mesmo um muito, muito parecido com o primeiro valor, o processo irá evoluir de uma maneira completamente diferente.
Vemos comportamento caótico, sensível às condições iniciais, como este em muitas áreas. O clima é um exemplo clássico – uma pequena mudança nas condições atmosféricas em um dia pode levar a sistemas meteorológicos completamente diferentes alguns dias depois. Tal ideia é mais comumente capturada no famoso conceito de uma borboleta batendo suas asas em um continente e causando um furacão em outro continente.
Modelo Black-Scholes (F. Black e M. Scholes, 1990)
Outra equação diferencial, o modelo Black-Scholes descreve como especialistas em finanças e comerciantes determinam preços para derivados. Derivados – produtos financeiros com base em algum ativo subjacente, como uma ação – são uma parte importante do sistema financeiro moderno.
A equação de Black-Scholes permite que profissionais calculem o valor destes produtos financeiros, com base nas propriedades do derivado e do ativo subjacente. [BusinessInsider]
1 comentário
Agora a moda sera a formula dos buracos de minhoca!